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静岡大理系数学'09年前期[1]

静岡大理系数学'09[1]

次の問いに答えよ。
(1) すべての自然数nに対して、21で割り切れることを証明せよ。
(2) 次の条件を満たす定数でない多項式を推定し、その推定が正しいことを証明せよ。
(a)
(b) すべての自然数nに対して、で割り切れる。

(2)は平凡にやってもできますが、因数定理を利用するとラクに証明ができます。

(1) 数学的帰納法により証明します。
() のとき、21で割り切れるので、成り立ちます。
() のとき成り立つと仮定すると、
(m:整数) ・・・①
とおくことができます。
のとき、


 ( )
は、21で割り切れるので、成り立ちます。
()()より、すべての自然数nに対して、21で割り切れます。(証明終)

(2) とおきます。


をともに割り切る多項式はなので、と推定することができます。
より、条件(a)は満たされています。
が条件
(b)を満たすことを、数学的帰納法で証明します。
() のとき、は、で割り切れます。
() のとき、で割り切れると仮定すると、
 ・・・②
とおくことができます。但し、xの多項式です。


 ( )
よって、のときも、で割り切れます。
()()より、すべての自然数nに対して、は、で割り切れます。(証明終)
別解.が条件(b)を満たすことについては、以下のように証明することもできます。
の解は、
とすると、
2解は、です。つまり、
 ・・・③
より、,また、
とおくと、③より、ゆえ、
 ( )
よって、因数定理より、は、でもでも割り切れて、で割り切れます。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/05/25(月) 16:26:21|
  2. 09年数学
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