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九大理系数学09年前期[3]

九大理系数学'09[3]

曲線の点Pにおける法線と点Qにおける法線の交点をRとする。ただし、とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) baに限りなく近づくとき、Rはある点Aに限りなく近づく。Aの座標をaで表せ。
(2) Pが曲線上を動くとき、(1)で求めた点Aが描く軌跡をとする。曲線と軌跡の概形を描き、の交点の座標を求めよ。
(3) 曲線と軌跡で囲まれた部分の面積を求めよ。

解答 単なる微積の計算問題ですが、背景があります。
曲線


(1) のとき、点Pにおける接線の傾きはa,法線の傾きはです。法線の方程式は、
整理して、 ・・・①
同様に、点
Qにおける法線の方程式は、
 ・・・②
①,②を連立すると、


より、Rx座標は、
 ・・・③
①より、Ry座標は、
 ・・・④
のとき、点Pにおける法線は、,従って、Rx座標も0
②においてとすると、Ry座標は、
③でとすると、
④でとすると、
従って、③,④は、の場合でも成り立ちます。
baに限りになく近づくとき、
 (関数の極限を参照)
よって、A ......[]

(2) 軌跡に関して、 ・・・⑤
aを消去すると、

 (微分の公式を参照)
において、yxの減少関数(関数の増減を参照)
において、
yxの増加関数。
また、は上に凸な曲線
(関数の凹凸を参照)
のとき、
のときのとき
(注.これより、で尖っていることがわかります。これを尖点(せんてん)と言います)のとき
曲線と軌跡の概形は右図。
に⑤を代入すると、
⑤より、
の交点は、
......[]

(3) ⑤よりaを消去すると、
求める面積Sは、y軸に関する対称性を考慮して、
......[]

追記.
本問の類題として次の問題があげられます。防衛医大
'95[4]です。

関数をみたしている。曲線上の相異なる
2点をPQとして以下の問いに答えよ。
(1) の点Pにおける法線と点Qにおける法線の交点Rの座標を求めよ。
(2) のとき、線分PRの長さの極限値を求めよ。
(3) のとき、(2)の極限値を最小にするaの値を求めよ。

解答 かなり面倒ですが、本問と同様に素直に計算していきます。

(1) Pにおける法線は、
 ・・・①
Qにおける法線は、
 ・・・②
①,②を連立して、
交点Rx座標は、
......[]
①より、交点Ry座標は、
......[]

(2) とすると、

より、


(3) (2)の結果で、とすると、より、
とおくと、
とすると、より、 (底はe)
においてにおいてより、
PRを最小にするaは、 ......[]

九大'09年前期[3]の本問は、この防衛医大の問題で、とした場合にあたります。
曲線上の点においてこの曲線と接する円でこの曲線の微小部分を最もよく近似するものを曲率円
(あるいは、接触円)と言いますが、九大の本問で求めたは曲率円の中心になっています。
防衛医大の解答の途中に出てきた、の極限

が、一般的な場合の曲率円の中心です。曲線上を動く動点における曲率円の中心が描く軌跡(九大の本問で図示した軌跡)を縮閉線と言います。
防衛医大の問題で求めている
PRの極限は、曲率円の半径になっていて、曲率半径と言います。20054月に尼崎市で電車がカーブを曲がりきれずに脱線しマンションに激突する、という悲しい大事故が起きましたが、曲率半径はカーブの曲がり具合を考える上での重要な要素です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/05/23(土) 22:32:57|
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