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質問へのお答え

質問へのお答え
会員から「組み立て除法」について質問を頂きました。

整式:
を、で割ったときの、
商:
余り:
R
を求めるのに、
組み立て除法:

で計算できることを、数学的帰納法を用いて証明できないか、というご質問です。

まず、数学的帰納法に依らずに証明するのであれば、
 ・・・①
より、



ここで、各項の係数比較を行えば、
の係数:
の係数:
の係数:
 ・・・・・・
の係数:
定数項:
,・・・,
となります。


多項式の除算を行うときの商と余りを求める、ということは、
,・・・,
という数列から、
,・・・,
という数列と、実数
Rを求める、ということです。
数学的帰納法に依って証明するときには、第k回目の操作から第回目の操作までの間に何が起きるのか、ということに着目することになります。
0回目はちょっと特殊な操作で、を、として求める、ということになります。
1回目の操作は、を、として求める、ということになり、
k回目の操作()は、として求め、
回目の操作は、として求める、
ということになります。
n回目の操作もちょっと特別な操作で、Rを、として求めることになります。
数学的帰納法の証明は、一番先頭を証明しておいて、第
k回目が正しければ第回目も正しい、という風にすれば良いわけです。ただし、ここでの証明は数学的帰納法としては、教科書の証明とはやや異なっていて、第n回目が特殊な形をしているので、一番最後も証明しておかないといけません。
まず、第
0回目の操作ですが、
整式:
を、で割るときの、
商:
の係数を何にすれば良いか、ということです。
これは、割る数
xと商の積以外のところからはの項は出てこないので、となります。 ・・・②
0回目から第k回目までの操作:,・・・, ・・・③
が正しい、と、仮定します。
このとき、第回目の操作:が正しいことを証明することが目標です。
③が正しいとしているので、,・・・,が③のように求められているとして、未知数を求めればよいわけです。
①より、


ですが、,・・・,は③のように定まっていて、両辺のからまでの係数比較は完了しています。を求めるためには、の係数を比較することになります。
左辺のの係数はです。
右辺のの項は、
xをかけたものと、をかけたものとの和

になります。よって、


つまり、を、③のようにして定められた,・・・,を用いて求めることができます。
従って、第回目の操作:も正しい、ということになります。
また、数学的帰納法により第回目においても、が正しいと言えるので、第
n回目について(このときはではなくRになります) ・・・④
②,③,④より、,・・・,となることが示せます。

この場合、証明の仕方としては最初に書いたように、いきなりを展開して係数比較すればよいのですが、この質問のように、数学的帰納法の枠組みに乗りにくいテーマを無理に数学的帰納法で証明しようとするとどうなるのか、ということを考えてみるのは、数学的帰納法の良い練習になると思います。

~~ ご覧の非会員の皆さまへ ~~
以上のように、会員の方の質問にお答えしています。上記はかなりレベルの高い質問ですが、どんな基本的なことであっても誠実にお答えいたします。
こんなつまらないこと、恥ずかしくて聞けないようなこと、これが、実は、入試問題を解く上で非常に重要な鍵であったりします。
会費は
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/04/17(金) 18:08:11|
  2. 質問への回答
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
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