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東大文系数学'09年[1]

東大文系数学'09[1]

座標平面において原点を中心とする半径2の円をとし、点を中心とする半径1の円をとする。また、点を中心とする半径t の円が、に内接し、かつに外接すると仮定する。ただし、bは正の定数とする。
(1) abt を用いて表せ。また、t がとり得る値の範囲を求めよ。
(2) t(1)で求めた範囲を動くとき、bの最大値を求めよ。

解答 (1)は、2円の位置関係に関する問題です。図形的意味を考えるようにしましょう。(2)2次関数の最大最小の問題です。

(1) 2円が接するとき、2円の中心は接点と一直線上にあります。
PQとすると、
に内接するので、
2円の中心間距離OQは半径の差に等しく、
 ・・・①
に外接するので、2円の中心間距離PQは半径の和に等しく、
 ・・・②
①-②より、
......[]
①より、
 ・・・③
より、 ......[]
また、
......[]
注.円の中心がx軸よりも上にある()とき、円の半径tは、Qに近づくといくらでも0に近づき、Qに近づくといくらでも1に近づくので、です。

(2) ③より、
において、のとき最大値2をとるので、bの最大値は ......[]


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