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一橋大数学'09年前期[4]

一橋大数学'09年前期[4]

一辺の長さが2の正三角形ABCを平面上におく。△ABC1つの辺に関して折り返すという操作を繰り返し行う。辺BCに関する折り返しを,辺CAに関する折り返しを,辺ABに関する折り返しをとする。△ABCは、最初3ABCがそれぞれ平面上の3Oの上に置かれているとする。
(1) の順に折り返し操作を施したときの頂点Aの移り先をPとする。また、の順に折り返し操作を施したときの頂点Aの移り先をQとする。とするとき、の値を求めよ。
(2) 整数kに対して、により定められる点Rは、の折り返し操作を組み合わせることにより、点Aの移り先になることを示せ。

解答 一橋大としては珍しいタイプの出題なので、一橋大受験生は面食らったかも知れませんが、理系の問題としてはしばしば見かけるパズル問題です。

(1) は右図のような操作です。では、操作前後のAの位置はBCに関して対称です。
の順に折り返し操作を施すと、AOから右図のPに移ります。の順に折り返し操作を施すと、Aは右図のQに移ります。
とおくと、より、
 (内積を参照)
より、

より、

です。

なので、
......[]

(2) (1)に出てくる折り返し操作で、という順に操作を行うとAは、
となる点に移ります。この操作をk回繰り返せば、Aは、
となる点に移ります。同様に、という順に操作を行うとAは、
となる点に移ります。この操作を回繰り返せば、Aは、
となる点に移ります。
より、という順の操作をk回行い、続けて、という順の操作を回行うことにより、Aは、点Rに移ります。従って、整数kに対して、により定められる点Rは、の折り返し操作を組み合わせることにより、点Aの移り先になります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/04/01(水) 14:52:51|
  2. 一橋大数学'09年
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