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一橋大数学'09年前期[3]

一橋大数学'09年前期[3]

pqを実数とする。放物線が、中心で半径1の円と中心で半径1の円の両方と共有点をもつ。この放物線の頂点が存在しうる領域をxy平面上に図示せよ。

解答 決して取り組みやすい問題とは言えませんが、'09年前期の一橋大の問題の中では、[1][3]しか標準的解法で解ける問題はないので、何とかものにしたい1題です。

放物線:

 ・・・①
は、頂点がにある放物線です(2次関数を参照)
とおくと、
 ・・・②
①と円
 (円の方程式を参照)
が共有点をもつので、両式よりを消去すると、
整理して、
 ・・・③
この左辺をとおきます。円の存在範囲を考えると、方程式は、の範囲に少なくとも1実数解をもちます。の軸の位置はで解の範囲の中にあるので、この条件(2次方程式の解の配置を参照)は、
の判別式: ・・・④
 ・・・⑤
です(右図参照)
注.円の存在範囲を考慮しないと、となるような
yの実数解もあり得てしまいます。
④より、

 ・・・⑥
⑤より、③を用いて、
 ・・・⑦
また、①と円

が共有点をもつので、両式よりを消去すると、
整理して、
 ・・・⑧
 ・・・⑨
この左辺をとおきます。円の存在範囲を考えると、方程式は、の範囲に少なくとも1実数解をもちます。の軸の位置はで解の範囲の中にあるので、この条件は、
の判別式: ・・・⑩
 ・・・⑪
です(右図参照)。⑩より、
 ・・・⑫
⑪より、⑧を用いて、
 ・・・⑬
①がの両方と共有点をもつ条件は、⑥かつ⑦かつ⑫かつ⑬ですが、①の頂点の存在範囲は②を用いて、
⑥は、

⑦は、

⑫は、

⑬は、

以上より、①の頂点の存在範囲は、上記でとして、
かつ かつ かつ
であって、図示すると右図黄緑色着色部分(境界線を含む)
なお、境界線は、
(複号同順)において、
境界線は、
(複号同順)において、
境界線は、
(複号同順)において、
交わります。



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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/03/31(火) 14:22:26|
  2. 一橋大数学'09年
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