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京大理系乙数学'09年[6]

京大理系数学'09[6]

abを互いに素、すなわち1以外の公約数を持たない正の整数とし、さらにaは奇数とする。正の整数nに対して整数をみたすように定めるとき、次の(1)(2)を示せ。ただしが無理数であることは証明なしに用いてよい。
(1) は奇数であり、は互いに素である。
(2) すべてのnに対して、は奇数であり、は互いに素である。

解答 (2)は、単純な数学的帰納法でやろうとしてもうまく行きません。ここでは、連立漸化式に従う数列が3項間漸化式にも従うことを利用し、前2つを仮定して次を導く形の数学的帰納法を考えることにします。なお、整数を参照してください。

まず、
ABCDが有理数であるとき、
であれば、
かつ
であること ・・・() を示しておきます。
において、と仮定すると、
となって無理数が有理数に等しくなる、という不合理を生じるので、
よって、()が成り立ちます。

(1)
よって、
は整数なので、()より、
となります。ここで、は奇数、は偶数なので、は奇数です。
が公約数
d ()をもつとすると、pqを正の整数として、
 ・・・①
 ・・・②
とおくことができます。また、は奇数なのでdは奇数です。
②より,これを①×
aに代入して、

これより、daの約数です。また、①より、
右辺は、奇数dの倍数でbdの倍数になり、dabの公約数になります。題意より、ab1以外の公約数をもたないので、に限られ、は互いに素です。

(2) まず、(1)に習って普通に数学的帰納法でできないか考えてみます。
のときは、で、は奇数であり、は互いに素です。
のとき、が奇数であって、が互いに素であると仮定します。

は整数なので、
となります。ここで、は奇数では偶数なのでも奇数です。
が公約数
d ()をもつとすると、dは奇数です。
pqを整数として、
 ・・・③
 ・・・④
とおくことができます。
③×
a-④×より、
④×a-③×bより、
これらより、は公約数dをもちます。
は仮定により互いに素なので、
dの約数 ・・・⑤ ということになりますが、これだけでは条件不足で、に限る、ということが言えません。

そこで(1)の意味を考えてみます。(1)では、の場合を示したわけで、の場合との場合については既に示せているわけです。
一方で、③,④により、数列の連立漸化式が与えられますが、連立漸化式に従う数列は、
3項間漸化式: (rsは定数)にも従います。
3項間漸化式を利用すると、の場合、の場合を仮定して、の場合を導く、という形の数学的帰納法が利用できそうです。

まず、
3項間漸化式を作ります。
整数が、
 ・・・⑥
によって定まるとき、上記にも書きましたが、

より、

という連立漸化式が得られます。このとき、と仮定すると、
となるので、となり、すべての自然数nについて、
 ・・・⑦
が成り立ちます。とおくと、
⑥+⑦より、 ・・・⑧
⑥-⑦より、 ・・・⑨

3項間漸化式:
の一般項は、特性方程式:が異なる
2実数解abをもつとき()
の形に表せることを思い出すと、
の場合には、

より、ab は、2次方程式:2解なので、3項間漸化式は、
 ・・・⑩
 ・・・⑪
という形になりそうです。⑧を用いて、


 ( ab は、2次方程式:2)
となり、⑩が成り立ちます。⑪も⑨を用いて同様に示せます。

今度は、数学的帰納法の枠組みを変えて、
のときは、は奇数であり、は互いに素、また、(1)より、は奇数であり、は互いに素です。
のとき、は奇数であり、が互いに素、が互いに素だと仮定します。
 ・・・⑫
 ・・・⑬
⑫において、は奇数、は偶数なのでは奇数です。また、の公約数をdとすると、dは奇数であって、上記の⑤のときと同様にして、
⑫×
a-⑬×より、

⑬×
a-⑫×bより、

⑤でも見たように、
dは、の公約数で、が互いに素であるという仮定により、dの約数となり、rを整数として、
 ・・・⑭
とおけます。
⑩によると、
この右辺はdの倍数なので、dの倍数です。
同様に⑪より、
dの倍数です。
仮定により、は互いに素であり、
dの約数であって奇数なので、daの約数となり、sを整数として、
とおけます。⑭に代入すると、

これより、dは、奇数なのでbの約数で、abの公約数となり、に限られます。
つまり、のときも、は奇数であって、は互いに素です。
よって、数学的帰納法により、すべてのnに対して、は奇数であり、は互いに素です。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/03/19(木) 14:19:35|
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