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京大理系数学'09年乙[1]

京大理系数学'09[1]

xyz空間でOABCDEFGを頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。辺AEsに内分する点をP,辺CGtに内分する点をQとおく。ただしとする。Dを通り、OPQを含む平面に垂直な直線が線分AC(両端を含む)と交わるようなstのみたす条件を求めよ。

解答 2つのベクトル方程式が指定範囲に解をもつ条件を考えます。
なお、途中で
2つのベクトルの双方に垂直なベクトルを求める必要がありますが、これについては外積も参照してください。

より、
より、
双方に垂直なベクトルをとすると、

 (内積を参照)



よって、Dを通り、OPQを含む平面に垂直な直線のベクトル方程式:
 ・・・①
より、直線ACのベクトル方程式:
 ・・・②
線分AC上の点では
①と②が交点をもつとして、それぞれの
x成分,y成分,z成分を等しいとおくと、
 ・・・③
 ・・・④
 ・・・⑤
⑤より、
④より、
③より、
 ・・・⑥
より、 ・・・⑦
⑥より、ですが、より、
 ・・・⑧
⑦かつ⑧より、 ・・・⑨
⑥かつ⑨が満たされれば、③,④,⑤がを満たす解をもち、直線①と線分②が交点をもちます。
求める条件は、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/03/13(金) 14:26:57|
  2. 京大数学'09年
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