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東工大数学'09年前期[1]

東工大数学'09前期[1]

Pから放物線2本の接線が引けるとき、2つの接点をABとし、線分PAPBおよびこの放物線で囲まれる図形の面積をSとする。PAPBが直交するときのSの最小値を求めよ。

解答 頻出タイプの問題で落とせない問題です。

P2接点をAB ()とします。
より、

Aにおける放物線の接線は、
 ・・・①
Bにおける接線も同様に、
 ・・・②
①,②は直交するので、
 ・・・③ (2直線の平行・垂直を参照)
①,②を連立して、

より、
これがPx座標で、
 ・・・④ (これより、となります)
放物線は下に凸なので、接線は放物線から下側にきます。線分PAPBおよびこの放物線で囲まれる図形をのところで分けて考えます。定積分は少々工夫して計算するとラクになるので、以下の計算要領を覚えてください。
 (定積分と面積を参照)
被積分関数を2乗の形にしたことに注意してください。こうできるのは、放物線と接線とで挟まれている部分の面積を計算しているからで、①と放物線の方程式、②と放物線の方程式をそれぞれ連立するとが重解になるからです。定積分の積分範囲にabが出てくるので、積分計算がラクになります。

③,④があるので対称式の技巧を使いたいのですが、は対称式ではありません。ですが、なら対称式です。そこで、
と変形して、③,④を使うと、
これは、のときに最小となり、Sの最小値は、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/03/05(木) 12:46:57|
  2. 東工大数学'09年
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