FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

東大理系数学'09年前期[6]

東大理系数学'09前期[6]

平面上の2PQの距離をと表すことにする。平面上に点Oを中心とする一辺の長さが1000の正三角形△がある。△の内部に3を、 ()となるようにとる。また、

とおく。のそれぞれに対して、時刻0を出発し、の向きに速さ1で直進する点を考え、時刻tにおけるその位置をと表すことにする。
(1) ある時刻tが成立した。ベクトルと、ベクトルとのなす角度をq とおく。このときとなることを示せ。
(2) 角度によって定義する。aかつをみたす実数とする。(1)と同じ仮定のもとで、の値のとる範囲をaを用いて表せ。
(3) 時刻のそれぞれにおいて、次が成立した。
このとき、時刻において同時に
が成立することを示せ。

解答 かつての後期試験風の問題ですが、こういう問題でこそベクトルの基本が問われています。(1)(2)は題意を把握できればそれほど難しくはありませんが、(3)は数値処理の部分で多大な気力・知力を必要とします。

()より、は動点の移動方向を示す単位ベクトルで、時刻0を出発し、の向きに速さ1で直進する点の時刻tにおける位置を示す位置ベクトルは、
 ・・・①
となります。
(1) より、です。①より、

この式は、右図のように、時刻0を出発した動点がの方向に速さで進み、時刻tからの距離が1の範囲、つまりを中心とする半径1の円内に来ている、ということを意味しています。右図において、として、より

(2) 問題文の図を眺めていても、の関係は見えてきません。(1)の結果は、は勝手な方向を向いているわけではなく、にかなり近い方向を向いている、ということを意味しています。つまり、の方向にはの方向に関して何らかの制約があるのですが、問題文の図ではそれが把握できないのです。
そこで、だけを抜き出したベクトル図を描いてみます。右図を見ると、のなす角がqのなす角がなので、です。複号が+になる(右図(i))とき、,複号が-になる(右図(ii))とき、となります。より、三角形DCEは二等辺三角形で、より、
(複号同順)

(1)
より、より、 ......[]

(3) 示すべき式、例えば、

は、時刻Tに動点は三角形の中心Oのかなり近くにいることを意味しています。時刻0から時刻までの間に速さ1で動点が進む距離は、です。つまり、を出発してOに向かって進むのであればちょうどOに到着する時刻に、動点はちょっとずれた方向:の方向に進んでいるのでOには来ないかも知れませんがOのそばには来ている、ということです。
右図より、のなす角はで、
 (内積を参照)
となることから、

 ( )
 ・・・②
以下では、②式を示すことが目標になります。
ところで、から
(2)の結果が得られるので、3式から、
 ・・・③
 ・・・④
 ・・・⑤
が得られます。ここで④+⑤より、
 ・・・⑥
③の各辺にマイナスをつけて不等号の向きを変え、
 ・・・⑦
⑥+⑦より、
 ・・・⑧
注.ここを、(③+④+⑤)÷2より、 ・・・⑨
⑦+⑨より、
としてしまうと、⑧よりも緩い条件になってしまい、
 
(の変形はを利用)




()
と、②右辺()との差が極めて小さく、②を示すのが難しくなります。

⑧より、

この右辺と②の右辺を各々2乗して比較すると、



よって②が成り立つので、が成立します。
同様にして、も成り立ちます。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005,2006,2007,2008,2009
(有)りるらる
CFV21 随時入会受付中!
CFV21ご入会は、まず、
こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/02/28(土) 10:28:05|
  2. 東大数学'09年
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<東大物理'09年前期[1] | ホーム | 東大理系数学'09年前期[5]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/813-83a39ff8
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。