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東大理系数学'09年前期[5]

東大理系数学'09前期[5]

(1) 実数xをみたすとき、次の不等式を示せ。
(2) 次の不等式を示せ。

解答 試行錯誤は必要ですが、しっかり計算して得点しておきたい問題です。
(1)は、いきなり(右辺)(左辺)では、指数の扱いが面倒なので対数を考えます。なるべく微分しやすい形に整理しましょう。なお、微分法の不等式への応用(2)を参照してください。

(1) 与不等式両辺の自然対数を考えても不等号の向きは変わりません。
 ・・・①
①を示せばよいのですが、この形で(右辺)(左辺)として微分するとlogが残って厄介です。そこで、で場合分けして、xをかけた式を示すことにします。
(i) のとき、①両辺にxをかけると、
 ・・・②
この場合は、以下で②が成り立つことを示します。
 ・・・③
とおきます。
よって、単調増加で、
従って、も単調増加で、
よって、②が成り立ちます。
(ii) のとき、①両辺にxをかけると、
 ・・・④
この場合は、以下で④が成り立つことを示します。
③のようにをおくと、
よって、は単調減少で、
従って、は単調増加で、
よって、④が成り立ちます。
(i)(ii)より、をみたすとき、が成り立ちます。

(2) 問題文の不等式
 ・・・⑤
は非常にきわどい不等式になっていて、電卓で計算してみると(試験場ではこうは行きませんが)
となっていて、粗雑な評価では示せません。
(1)の不等式を利用するにしても、とかを単に代入するのでは、⑤の形を作ることができません。
⑤には、
0.990.9999が出てくるのですが、
となるので、(1)の不等式のにはをかけ、にはをかけてとするとうまく行きそうです。
そこで、
(1)の不等式の両辺にをかけてみます。

を代入すると、
 ・・・⑥
左辺の形に合わせて
(1)の不等式の両辺にをかけると、

を代入すると、
 ・・・⑦
⑥,⑦より、⑤が示せました。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/02/28(土) 10:26:56|
  2. 東大数学'09年
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