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東大理系数学'09年前期[4]

東大理系数学'09前期[4]

aを正の実数とし、空間内の2つの円板

を考える。y軸の回りに回転してに重ねる。ただし回転はz軸の正の部分をx軸の正の方向に傾ける向きとする。この回転の間にが通る部分をEとする。Eの体積をとし、Eとの共通部分の体積をとする。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。

解答 (1)はまだしも、(2)は難問です。過去問に類似の計算問題があるだけに、積分計算に手を焼いて涙を飲んだ受験生も多いだろうと思います。

円板 ・・・①
を回転するので、体積を計算すると言ってもなかなかイメージが湧かないかも知れませんが、要は、回転軸(本問ではy)に垂直な平面で切ったときの断面積を回転軸に沿って積分すればよいわけです(定積分と体積を参照)。円板を回転すると思わないで、右図(上がy軸方向から見た図、下がz軸方向から見た図)のように円板を平面 ()で切ったときにできる線分を回転すると考えます。円板の領域の不等式①においてとして、
 ・・・②
②は線分を表します。線分上の点でy軸との距離が最小となるのは線分の中点で、距離の最小値はaです。線分上の点でy軸との距離が最大となるのは両端で、距離の最大値は三平方の定理よりです。
線分②を
y軸のまわりに回転するとき線分の通過領域は、半径aの円と半径に挟まれた領域の中にあり、円板回転して円板の位置まで回転させるので、線分②の通過領域は右図の水色着色部分になります。

(1) 右図水色着色部分のうちの部分の断面積は、半径の円の面積から半径aの円の面積を引いてをかけたものになります。
立体Ezx平面()に関して対称なので、
 (定積分と体積を参照)
......[]

(2) は右上図水色着色部分の面積を積分したものになります。の違いは、右図の赤線枠で囲まれた部分2カ所の面積が追加される点にあります。
として、赤線枠で囲まれた部分1個の面積は、扇形OBCの面積から直角三角形OABの面積を引くことにより、
 ・・・③
これより、
として、
とすればよいのですが、
という積分が出てきて、を利用して、と置いても、
となり、積分計算が手に負えません。試験場では、積分計算を試行錯誤するよりも、ここで断念して次の問題に進んでしまうのが賢明ですが、本問にこだわるのであれば、を聞いているのではなく、極限値:を聞いている、ということに注意します。とすると、立体Eの肉厚(外側の円と内側の円の半径差)が小さくなり、がある値に近づいてきそうです。aにかかわらず定数値:になることからすると、になりそうだ、と見当をつけます。ということになれば、極限を求めるときに、はさみうちにするのだろう、という方針が立ちます。なので、よりも大きくなるものを探せばよい、ということになります。
ここで、そもそも積分計算自体が困難なことを考えると、積分計算を行ってからではさみうちにするのではなく、積分計算ができる形のものを探してにするのだろう、ということになるでしょう。つまり、断面積の時点でよりも大きくなるものを探します。
③よりも大きくなるものとして、扇形
OBCをもってくると、としたときに無限大に発散してしまうので、もう少し小さくて③よりも大きくなるもの、例えば右図の台形ABFCを考えます(他にも考えられます)
台形
ABFCの面積は直角三角形OCFの面積から直角三角形OABの面積を引いたものです。両者の相似比はaなので、面積比になり、直角三角形OABの面積がであることから、台形ABFCの面積は、
これは、③よりも大きく、
となります。この右辺をとすると、(1)の結果を使って、
がわかればよいので、実は定積分を計算する必要はない(積分の形からaと無関係な有限確定値になることは明らか)のですが、一応計算しておきます。
この積分は、とおくと、
kのとき、jより、
 (置換積分を参照)





より、
ここでとすると、右辺→となるので、はさみうちの原理より、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/02/27(金) 12:54:10|
  2. 東大数学'09年
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