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東工大数学'08年後期[1]

東工大数学'08年後期[1]

次の問いに答えよ。
(1) 実数


をみたしているとする。このときであることを証明せよ。
(2) n2以上の整数とし、個の実数,・・・,,・・・,,・・・,
およびn個の不等式
()
をみたしているならば、
であることを証明せよ。

解答 

(1)  ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
①よりなので、②より、
①よりなので、
両辺にを加えると、③より、
より、
 (証明終)

(2) 数学的帰納法だろうということはうすうす察しがつきますが、なかなか帰納法の枠組みが見えません。そこで、の場合を考えて、からへの論理の進み具合を調べてみます。のときには、
 ・・・①
 ・・・②
 ・・・③
 ・・・④
4式から、を導くことになります。
帰納法にすることを考えて、のときの結果:を利用することになりますが、①,②,③は、のときの仮定と同じなので、当然、は成り立ちます。

(1)と同様にするのであれば、を利用して、
 ・・・⑤
ここで、(1)と同様に②によってが言えているので、
こうして、
⑤とつなげて各辺にを加えれば、
 ( )

より、

となります。
一般の
nの場合に数学的帰納法の枠組みに乗せるためには、のときに、
とするために、のときの、を利用すればよいわけです。ここからさらに、
とするためには、のときの、を利用します。
以下、,・・・,のときの結果を使うので、数学的帰納法の仮定は、「のとき成立すると仮定する」という形になります。
こうして、答案を以下のようにまとめることができるでしょう。


数学的帰納法により証明する。
() のときは、(1)により成り立つ。
() のときに成り立つと仮定する。即ち、
個の実数,・・・,,・・・,,・・・,
 ・・・①
およびk個の不等式
() ・・・②
をみたしているならば、
 () ・・・③
が成立する(③の各不等式は②があってはじめて成立します)と仮定する。
ここで、②のの場合の不等式と①より、 ・・・④
また、①,②に加えて、
3個の実数
() ・・・⑤
をみたすとする。
 ( ,および、③のの場合)
 ( ①,および、③のの場合)
・・・・・・
 ( ①,および、③のの場合)
 ( )

より、
よって、のときにも成立する。
()()より、2以上の整数nについて成立する。 (証明終)


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  1. 2009/02/23(月) 10:43:42|
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