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慶大理工数学'09年[A4]

慶大理工数学'09[A4]

とする。このとき、3次方程式
はただ一つの実数解をもつ。正の数Rに対し、の範囲でaを動かすとき、対応する実数解が整数となるようなaの個数をとする。
となるような
Rの範囲は ナ  ニ である。
とおき、
uで表すと ヌ となる。したがって、aを使って表せば
 ()
となる。
が有限な正の値となるのは ノ のときであり、そのとき ハ である。


解答 問題文がわかりにくいのですが、そこがこの問題のポイントなので、がいったい何を意味するのか、よくつかんでから解答するようにしましょう。出題者の意図がつかめれば、親切な誘導になっていることに気づけるはずです。

とおくと、
より、単調増加関数です。
,・・・
となっているので、例えば、として、aの範囲を動くとき、を満たすxであってxは整数にならないので、です。
とすると、
aの範囲を動くとき、を満たす整数xは、のときののみであって、です。
だとすると、
aの範囲を動くとき、を満たす整数xは、のときののときのの少なくとも2個あるので、です。
従って、となるような
Rの範囲はです。
() 2 ......[]
() 7 ......[]
() とおくと、

......[]
() より、


問題文中の指定によりとなる方をとって、

 ・・・①
......[]
() aの範囲で動かすとき、を満たすxが整数となるときの「aの個数」がなのですが、が単調増加関数であることを考えると、aの個数はを満たす「整数xの個数」に一致し、aの範囲で動かすときのを満たす整数xのうちの「最大の整数n」と一致します。つまり、
のとき、の範囲をaが動くとを満たす整数xは存在しないので、
のとき、の範囲をaが動くとを満たす整数xは、のときの1つあり、
のとき、の範囲をaが動くとを満たす整数xは、のときのと、のときの2個あり、
のとき、の範囲をaが動くとを満たす整数xは、のときののときののときの3個あり、
という具合になっているので、nを自然数として、
のとき、の範囲をaが動くとを満たす整数xのときののときの,・・・,のときのn個あり、
となります。よって、
だとして、

 ・・・②
左辺のと右辺のは、
とすると、では
0に収束し、では正の無限大に発散します(数列の極限を参照)のとき、よりとなるので、が有限な正の値となるのは、 ......[] のときです。
() のとき、②は、
とすると、
よってはさみうちの原理より、
......[]
別解. (n:自然数)のとき、①でとして、
として考え、のときにのみ
とすることもできます。


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  1. 2009/02/18(水) 11:55:29|
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