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東大文系数学'97年[4]

東大文系数学'97年前期[4]

をみたす実数t に対して、xy平面上の点AB
AB
と定める。t を動くとき、直線ABの通りうる範囲を図示せよ。

解答 見るからにゴツゴツとそびえ立つ巨岩のような問題に見えますが、やっていくと、典型パターン問題だということがわかってきます。
とにかく、暗礁に乗り上げるまでは基本に忠実にやってみることです。

まず、
ABx座標が一致することがあるかどうか調べてみます。
より、ABx座標が一致することはありません。
よって、直線
ABの傾きは(直線の方程式を参照)
直線ABの方程式は、
 ・・・①
となり、見慣れた形になってきます。
実数
tの範囲を動くと、直線ABが傾きやy切片を変化させながらxy平面上を動き回るのですが、直線ABの通過範囲は、いろいろと直線を引いてみてもなかなかつかめません。
そこで、
x座標を固定して、直線が動くときに、あるx座標のところでy座標がどのような変化をするかを考えることにします。従って、xの方を定数として①をtの関数と見て、y座標の最大・最小を考えることになります。
①の右辺をとおいて、


とすると、になりますが、x0との関係はいろいろ考えられるので、場合分けが必要になります(3次関数の増減を参照)
(i) の場合、において、なので、は減少していて、
より、
(ii) の場合、xの範囲に入るかどうかでも場合分けが必要になります。
のとき、
より、の増減表は以下のようになります。
t0
x
1

0

増減表より最大値はですが、最小値はのどちらになるかでさらに場合分けが必要になります(3次関数の最大最小を参照)
(a) のとき、より、
(b) のとき、より、
の場合、において、なので、は増加していて、

以上をまとめると、直線ABの通過範囲は、
図示すると右図黄緑色着色部分(境界線を含む)


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/02/15(日) 08:28:16|
  2. 東大文系数学
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