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東大文系数学'98年[4]

東大文系数学'98[4]

xyz空間に3ABCをとる。△ABC1つの面とし、の部分に含まれる正四面体ABCDをとる。さらに△ABD1つの面とし、点Cと異なる点Eをもう1つの頂点とする正四面体ABDEをとる。
(1) Eの座標を求めよ。
(2) 正四面体ABDEの部分の体積を求めよ。

解答 断面図が描けてしまえば、あとは一本道です。なお、空間ベクトルを参照してください。

(1) 原点をOとして、Oは辺ABの中点で、より、正四面体ABCDは、△CODを含む平面、つまり、yz平面に関して対称です。また、同様に、正四面体ABDEも、yz平面に関して対称です。従って、DEyz平面上の点です。
これより、右図のような鳥瞰図と、yz平面で切ったときの断面図が書けるはずです。
ABCの重心をGとすると、断面図において、DGは△ABCを含む平面、つまり、xy平面に垂直 ・・・() で、Dy座標はGy座標に一致します。
よって、Dy座標はです。また、と三平方の定理より、
これがDz座標になります。

OD
CEの交点をHとすると、であって、Hは△ABDの重心です。

E
は直線OD (あるいは△ABD)に関してCと対称なので、
よって、点Eの座標は、 ......[]
注.()を示すのであれば、
より、
よって、DGは△ABCを含む平面に垂直です。

(2) これも(1)の断面図を使って考えます。正四面体ABDEzx平面で切ると、辺DEz軸との交点をFとして、切り口は△ABFです。この△ABFを底面と見ると、高さはEy座標の符号を変えたものとなり、求める体積Vは、
で与えられます。Dy座標をと書くと、
GD // OFより、DFFE = = = 37
Fz座標をとして、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/02/09(月) 17:18:08|
  2. 東大文系数学
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