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早大理工数学'03年[5]

早大理工数学'03[5]

放物線のうち、の部分をCとする。C上の点Pに対し、原点OからPまでのCの部分の長さをsで表す。xysの関数とみなしてとおくとき、以下の問いに答えよ。
(1) の値を求めよ。
(2) 次の等式を示せ。
(3) PにおけるCの法線上にあり、Pとの距離が正の定数aである2点のうち、Cの下側にあるものをQとする。vwを用いて表せ。
(4) Cの長さをLとし、PC全体を動くときの、Qの描く曲線の長さをMとする。を求めよ。ただし、を用いてもよい。

解答 曲線の長さは、現行学習指導要領の範囲外(「ゆとり教育」見直しにより復活することになっています)なのですが、本問では、結局最後まで、曲線の長さの積分を計算しないですんでしまうので、以下では、「曲線の長さ」を、
曲線の部分の長さであれば、

媒介変数表示された曲線の部分の長さであれば、
という定積分に読み替えてください。

放物線の部分の長さ
sは、より、
 ・・・①
で与えられます。
注.①の定積分の計算は、
京大理系'02年前期[4]置換積分(その3)の例3を参照してください。本問では、結局最後まで計算しません。ただし、早大理工'98[5]では、計算する必要のある問題が出題されています。

(1)  (逆関数の微分法を参照)
①の両辺をxで微分する(定積分と微分を参照)と、
 ・・・②
ではより、
 ・・・③
......[]

(2) ですが、②ではxの式で表されているので、合成関数の微分法を利用して、をまずxで微分し、をかけることにします。
 

 ( )
同様にして、
 (商の微分法を参照)

(3) 放物線Pにおける接線の傾きは、 (媒介変数表示された関数の微分法を参照)
Pが原点の場合()を除いて、法線の傾きは、 (,つまり、)
右図で直角三角形PQRについて、QRPQ = (1)の結果より、
QCの下側に来るので、
......[]
Pが原点の場合()Qですが、(1)の結果よりのときなので、このOKです。

(4) 曲線Cの長さLは、①の定積分の上端を1として、
 ・・・④
(3)の結果をQの描く曲線の媒介変数表示と見て、の部分の曲線の長さMは、
 ・・・⑤
(2)(3)の結果を用いて、
 (符号に注意)
これらより、⑤の根号内は、
 ( (1))
よって、⑤は、
被積分関数がxの関数の形をしているので、sに関する積分をxに関する積分とするために、①を用いて置換積分します。より、sのとき、x
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/02/06(金) 13:20:52|
  2. '08年入試(数学)
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