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東工大数学'95年前期[3]

東工大数学'95年前期[3]

nを自然数とする。
(1) の増減を調べ、グラフの概形を描け。
(2) 楕円と曲線の交点のうちでない方の座標をとおく。このとき、であることを示せ。

解答 (2)では、はさみうちすることは察しがつきますが、はさむものがなかなか見つからないので苦労します。

(1)  ・・・①

よって、単調増加で、より、方程式にただ1つの解aをもちます。即ち、
 ・・・②
また、
増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)
x

0


これより、グラフの概形は右図。

(2) 楕円 ・・・③
曲線: ・・・④
③,④を連立して、
即ち、 ・・・⑤
(1)のグラフより、方程式⑤は、の範囲にただ1つの解をもちます。即ち、
 ・・・⑥
ここで、
nの式で表せれば、を考えることができますが、⑥をについて解くことはできません。そこで、の各辺をnで割り、
として、はさみうちにすることを考えます。ですが、②を利用してもanで表すことができません。aよりも大きなものを探しても、を考えることができません。これで暗礁に乗り上げます。そこで、の利用を諦め、⑥に出てくるを使うことを考えます。なので、
 ・・・⑦
これも、このままではにつながりません。なので、⑦よりも大きくなるものを探すことになります。⑦の右辺にはマイナスがついているので、よりも小さなもの、よりも大きなものを探します。より、
が使えそうですが、この右辺がaを含むままではの極限操作が行えないので、さらに②を利用します。

さらに、,つまりを用いて(ここではaよりも小さくなるものを考えていることに注意)


結局、⑦より、
ここで、とすると、右辺は、
よって、はさみうちの原理により、


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/01/30(金) 19:46:29|
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