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東北大物理'96年前期[2]

東北大物理'96[2]

電気容量のコンデンサーに交流電圧 ()を加えると、コンデンサーに流れる電流は、で表される。コンデンサーのリアクタンスはである。また、自己インダクタンスのコイルに交流電圧を加えると、コイルに流れる電流Iで表される。コイルのリアクタンスはである。交流回路について下記の問いに答えよ。 ア  オ  カ  ク  コ には式を、 イ  エ には数値(有効数字2桁まで)を、 サ  シ には適当な言葉を記入せよ。なお、 キ  ス は図で示せ。
(1) 1はコンデンサーC (電気容量),コイルL (自己インダクタンス),抵抗R (抵抗値)を直列に接続し、交流電圧を加えた交流回路である。回路を流れる電流Iは、を交流電圧に対する電流Iの位相差として、で表される。ここで、で与えられる。Zはこの回路のインピーダンスであり、 ア で表される。とすると、w  イ のときw に関して最大になり、その値は ウ となる。また、このときのAB間の電位差 エ となる。この現象を共振という。およびのときのの漸近形は オ で表され、及びのときのの漸近形は カ で表される。これらの結果を用いて、w の関数としての概略を キ に図示せよ。
(2) 2は、図1でコイルLとコンデンサーCを並列に接続した場合の交流回路を示す。交流電圧の角周波数w を変えていくと、のとき抵抗Rを流れる電流は0になった。このとき、コンデンサーCに流れる電流 ク で、一方、コイルに流れる電流 ケ である。これより、 コ と求まる。この現象も共振と呼ばれる。のとき、コンデンサーとコイルのうち、電流はほとんど サ を流れる。また、のときは電流はほとんど シ を流れる。抵抗Rを流れる電流Iは、を交流電圧に対する位相差として、と表される。の場合、w の関数としての概略を ス に図示せよ。図中に、の数値と及びのときのの数値をそれぞれ示せ。

解答 交流回路に関する基本問題ですが、数式処理の点でちょっと難しいカ所があります。
交流では、抵抗
R,コイルL,コンデンサーCを直列接続したときの合成インピーダンスは、それぞれのインピーダンス(抵抗R誘導リアクタンス容量リアクタンス)の和ではなく、横軸にR,縦軸上向きに,縦軸下向きにをとったときのベクトル和の大きさとして、となることに注意してください。
また、
誘導リアクタンス容量リアクタンスを考えるとき、電流電圧の瞬時値については、オームの法則を適用できない(位相がずれる)ことに注意してください。ただし、電流電圧の振幅 (従って、実効値)については、オームの法則と類似の関係式:が成り立ちます。

() 自己インダクタンスのコイル、静電容量のコンデンサー、抵抗を直列接続したときの、角周波数におけるインピーダンスは、
 ・・・①
で与えられます。
......[]
() は、Z最小のときに最大になります。w が変化するとき、①で与えられるZが最小になるのは、
 ・・・②
のときです。よって、

......[]
() ②が成立するとき①は、となります。よって、の最大値は、

......[]
() このとき、AB間のインピーダンスは、②よりゼロです。従って、AB間の電位差もゼロです。
0 ......[]
() およびのとき、 ()が出てくるように①を変形して、
を無視すると、
このときのの漸近形は、
......[]
() 及びのとき、 ()が出てくるように①を変形して、
を無視すると、
このときのの漸近形は、
......[]
() これらの結果よりw の関数の概略は右図黒色実線(黄緑色の曲線は,水色の曲線は)
() 抵抗両端の電圧0なので、コイルとコンデンサーの両端に交流電圧がかかります。
問題文より、のとき、コンデンサーに流れる電流は、
 ・・・③
......[]
() コイルに流れる電流は、
 ・・・④
......[]
() 抵抗を流れる電流0なので、
③,④より、
......[]
() のとき、コイルのリアクタンス→大,コンデンサーのリアクタンス,よって、電流はほとんどコンデンサーを流れます。
コンデンサー ......[]
() のとき、コイルのリアクタンス,コンデンサーのリアクタンス→大,よって、電流はほとんどコイルを流れます。
コイル ......[]
()
()のとき、合成インピーダンスは、
(コイルとコンデンサーが並列であることに注意)
()のとき、合成インピーダンスは、

これらの結果よりw の関数の概略は右図黒色実線。



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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/01/29(木) 19:53:47|
  2. '08年入試(物理)
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