FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

東大理系数学'99年前期[6]

東大理系数学'99年前期[6]

であることを示せ。ただし、は円周率、は自然対数の底である。

解答 前半は平凡な部分積分の計算ですが、後半は、最近、東大前期でよく出題されている数値評価の問題になります。試験会場でいろいろなアイデアをひねり出せるようにしておくことが大切です。

 (半角の方式を参照)

 (部分積分法を参照)



よって、を示せばよいことになります。
まず、なので、ですが、

なので、なら示せますが、は示せません。
さりとて、より、

では、ですが、試験会場での手計算ではとても展望がありません。
そこで、いろいろと工夫が必要になるわけですが、以下に種々のアイデアを掲げておきます。

(1) 接線の利用
のグラフは下に凸で接線から上に来ることを利用します(曲線の凹凸を参照)
計算しやすい値が出てくるように、におけるの接線を考えると、より、
においては、のグラフは接線よりも上に来るので、
 ・・・①
(2) の接線の利用
のグラフは上に凸で接線から下に来ることを利用します。
における接線は、より、
においては、のグラフは接線よりも下に来るので、
 (以後は①)
(3) 平均値の定理の利用
関数に平均値の定理を適用すると、より、
 ()
となる実数cが存在します。
より、
 (以後は①)
(4) ニュートン法の利用
方程式:の解はです。
におけるの接線は、より、
x軸との交点は、として、

のグラフは上に凸なのでx軸との交点は、その接線とx軸との交点よりもx軸正方向にずれた位置に来ます。
 (以後は①)
(5) テーラー展開の利用
の近くにおけるテーラー展開:
を知っていれば、 (問題によっては、より高次の項まで必要なときもあります)とおいて、
においては、よりは増加で、
これより、として、
 (以後は①)
注.大学入試では、の場合のマクローリン展開で充分な場合がほとんどです。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/01/26(月) 12:44:00|
  2. 東大数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<一橋大数学'05年前期[4] | ホーム | 中大理工物理'05年[2]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/771-07cb9645
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。