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センター数学ⅡB'09年第4問

 センター数学IIB '09年第4問 

Oを原点とする座標空間における5点をABCDEとする。ひし形BCDEを底面とする四角錐A-BCDEと、平面ABCに平行な平面との共通部分について考える。
(1) であり、三角形ABCの面積はである。
(2) とおく。とし、点を線分BEaに内分する点とすると、である。点
で定め、線分と線分AEが交わることを示そう。上の点Pは、を満たすbを用いて
と表される。また、AE上の点Qは、を満たすcを用いて
と表される。
PQのとき一致するから、線分AEは、AEに内分する点で交わることがわかる。この点をとする。
で定めると、同様に考えることにより、線分と線分ADも、ADに内分する点で交わることがわかる。この点をとすると
であり、三角形は三角形ABCと平行であるから、四角形の面積は
である。
また
である。

解答 第2問、第3問に続いてボリュームたっぷりの空間ベクトルの問題です。きちんと論証していたのではとても時間が足りません。()()()()()()は少々計算が必要ですが、それ以外は、実力派の受験生ならカンで埋められる、というか、カンでやっていかないと高得点は望めません。

(1)

 
(内積を参照)
() 1 () 3 () 2 ......[]

(2) とおくので、三角形ABEを含む平面上のベクトルは、Bを始点とするように考えることにします。Oを始点とするベクトルは、の形で考えます。
は線分BEaに内分するので、
() a ......[]

これを用いると、点P上の点なので、

 ・・・① (ベクトルの1次独立を参照)
問題文のの式の形から、AE上の点Qは、AEcに内分する点として、
と書けるので、
 ・・・②
() c () 1......[]
①,②は、かつ,つまり、のときに一致します。
() c () - () a ......[]
このときQは、AEaに内分する点で、線分AEは、AEaに内分する点で交わることがわかります。
() a ......[]
上記で、BCに、に、EDに読み替えることにより、線分ADは、ADaに内分する点で交わることがわかります。
() a ......[]
より、
 ・・・③
() a ......[]
と同様に、
よって、三角形
ABCと三角形は合同です。また、DE = a1で、三角形と三角形は相似な三角形であって、相似比はa1で面積の比は1です。
三角形の面積は三角形
ABCの面積に等しくで、四角形の面積は、三角形の面積から三角形の面積を引いて、
() 3 () 2 () 1 () a () 2 ......[]
また、 = aより、



() 5 () 2 () 2 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/01/22(木) 20:12:57|
  2. センター数学'09年
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