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センター数学ⅡB'09年第2問

 センター数学IIB '09年第2問 

放物線C,点Aとする。
Qに関して、点Aと対称な点をPとすると、
が成り立つ。QC上を動くときの点Pの軌跡をDとすると、Dは放物線
である。
二つの放物線
CDの交点をRSとする。ただし、x座標の小さい方をRとする。点RSx座標はそれぞれで、点RSにおける放物線Dの接線の方程式はそれぞれ
である。
Pを放物線D上の点とし、Px座標をaとおく。Pからx軸に引いた垂線と放物線Cとの交点をHとする。のとき、三角形PHRの面積
と表される。のとき、最大値をとる。
のとき、直線
HRと放物線Dの交点のうち、Rと異なる点のx座標はである。このとき、の範囲で、放物線Dと直線PHおよび直線HRで囲まれた図形の面積はである。

解答 全国の予備校サイトや高校の先生方の団体では、こういう問題を適切な良問と持ち上げるのでしょうけれども、こうした問題のために夢を打ち砕かれてしまう才能を思うと、当ウェブサイトは、毎年繰り返されているこうした悪問を一刻も早くやめるべきだ、と、主張致します。
計算のボリュームがあるのに、前半のミスが一生を棒に振る致命傷になってしまうので、難関国立大を目指す皆さんは、検算方法などを工夫するとともに、本番では前半をミスしないように充分に注意してください。制限時間を考えると、実戦的には最後の
()()をパスすることが賢明です。

PAの中点がQになります。
() 1 () 2 () 2 () 2 ......[]
Q
C上を動くので、より、
整理して、
D ・・・①
() 2 () 3 ......[]
と連立すると、
整理して、

(
) - () 1 () 3 ......[]
①を微分して、
のとき、
Rにおける接線は、

のとき、
Sにおける接線は、

(
) 2 () 8 () 6 ......[]
においては、
なので、DCの上に来ます。PHより、三角形PHRの底辺PHは、
三角形PHRの高さは、PRx座標の差で

(
) 2 () - () 5 () 3
a

3
00




増減表より、のとき、最大値をとります(3次関数の最大最小を参照)
() 5 () 3 ......[]
のとき、Hの座標はとなります。RHを結ぶ直線は、
これと①を連立して、
整理して、

R
と異なる交点のx座標はです。
() 1 () 3 ......[]
の範囲で、放物線Dと直線PH ()および直線HRで囲まれた図形(右図の黄色着色部分)面積は、



......[]
() 1 () 6 () 0 () 8 () 1 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/01/21(水) 21:13:34|
  2. センター数学'09年
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