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旭川医大数学'08年[2]

旭川医大数学'08[2]

n2以上の自然数とする。で割った商を,余りをとする。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) が成り立つことを示せ。
(3)  (mは自然数)であることを用いて、 ()の係数を求めよ。

解答 多項式の除算等比数列の融合問題です。
多項式を多項式で割り、商が,余りがになるとき、

また、余りの次数はの次数より小さくなります。
これが試験会場で思いつけないときは、

のとき、
となることを考えましょう。

(1) 2次式で割るので余り1次式または定数で、
とおけます。これより、
 ・・・①
①において、とすると、
 ・・・②
①において、とすると、
 ・・・③
②,③を連立すると、
......[]

(2) で割って商が,余りが定数sになるとします。
とすると、
 ・・・④
より、
で割って商がになるとして、余りは、剰余の定理より、
 ・・・⑤
を、④に代入すると、

これは、で割ると、商が,余りがになることを意味します。つまり、です。
⑤より、

別解.(1)の結果より、

を用いると、

(3) 問題文の等式より、

・・・・・・

辺々加え合わせると、
 (等比数列を参照)
(2)で示した等式を用いると、
これより、 ()の係数は、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/01/16(金) 14:26:23|
  2. '08年入試(数学)
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