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帯広畜産大数学'08年[2]

帯広畜産大数学'08[2]

頂点がで、点を通る2次関数があり、とする。
(1) 関数を求めよ。
(2) の増減表を作り、そのグラフを書け。
(3) 曲線における接線の方程式を求めよ。
(4) 曲線x軸とで囲まれた部分で、一辺がx軸と平行でかつ2つの頂点が曲線上にある長方形を作るとき、面積が最大となる長方形の4つの頂点の座標とその面積を求めよ。
(5) から曲線に異なる3本の接線が引けるとき、点の存在する範囲を不等式で表し、またその範囲を図示せよ。

解答 2次関数、3次関数のグラフあり、接線あり、最大値あり、2次方程式、3次方程式の解の条件あり、存在範囲あり、で、てんこ盛りのセンター試験用練習問題です。

(1) の頂点がであることから、
とおくことができます(2次関数を参照)
を通るので、

......[]

(2)
とすると、
増減表は(3次関数の増減を参照)
x

1
00
0

グラフは右図。

(3) 曲線における接線は、
整理して、
......[] ・・・①

(4) 曲線y軸に関して対称なので、長方形も対称になり、x軸と平行な辺の両端にくる曲線上の2点は、として、 ()です。ただし、この2点は、曲線の部分に存在するので、
より、です。
長方形の横が,縦がより、長方形の面積は、


p0

1

0



増減表より、長方形の面積はのとき最大値 ......[] をとり(3次関数の最大・最小を参照)より、このとき、長方形の4頂点の座標は、 ......[]

(5) から曲線に異なる3本の接線が引けるとき、この点のx座標をay座標をbを書くことにします(xyのままだと、曲線上の点、接線上の点と混同しやすくなるので、別の文字にします)。接線①が点を通るので、
これをtに関する3次方程式と見て整理すると、
この左辺をとおくと、点から曲線3本の接線が引ける、ということは、接点が3個できて、接点のx座標を解にもつ3次方程式が相異なる3実数解をもつ、ということです。
このための条件は、関数が極大と極小をもち、
(極大値)×(極小値)が負になることです(微分法の方程式への応用を参照)
であれば、極大、極小が存在します(2次方程式の判別式が正、としてもOK)
このとき、のいずれか一方が極大値で他方が極小値です。よって、
ここで、に戻すと、点から曲線に異なる3本の接線が引ける条件は、
かつ
となりますが、不等式においてとしても、となって成り立たないので、点の存在する範囲は、
......[]
図示する(不等式と領域を参照)と、境界線は、 ()で、境界線はにおいて接しており、求める範囲は、より下側であってかつより上側、または、より上側であってかつより下側、より、右図斜線部。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/01/12(月) 15:02:11|
  2. '08年入試(数学)
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