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長崎大医数学'08年[3]

長崎大医数学'08[3]

1辺の長さの正方形の折り紙がある。正方形ABCDの中心を点Oとし、AO上に点Eをとり、とする。図1の斜線部を取り去り、OBOEに沿って折り、OCODを貼り合わせ、図2のように三角錐O-BCEを作って平面に置いた。Oより三角形BCEに下ろした垂線と三角形BCEとの交点をHとするとき、次の問いに答えよ。
(1) を用いて表せ。
(2) 三角形BCEの外心を点Pとする。のときのの長さをaを用いて表せ。

解答 空間ベクトルの計算問題です。(2)は、平面ベクトルの問題として考え、三角形BCEである二等辺三角形であることから、1次独立なベクトルとして、を選ぶことにします。また、BCの中点をMとして、外心PEM上にあることを利用します。

(1) です。
また、で、OCODを貼り合わせるので、
 ・・・①
とおくと、Hは、三角形BCEが乗っている平面上の点なので、
 ・・・② (平面のベクトル方程式を参照)
OHは、三角形BCEと垂直なので、
かつ
よって、です。①を用いると、

②より、

......[]

(2) (1)より、

 ・・・③
より、三角形BCEは二等辺三角形で、外心Pは、BCの中点をMとして、EM上に来ます。
 ・・・④
①より、
 ・・・⑤
これを用いて、
 ・・・⑥
とおくと、
 ・・・⑦
④を用いて、


 ( )
Pが外心であることから、,⑦を用いて、


③,④より、

と⑥より、
分母を払って2乗すると、
整理して、
より、
EHHP = = = 21

......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/01/09(金) 22:10:39|
  2. '08年入試(数学)
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