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一橋大数学'05年前期[1]

一橋大数学'05年前期[1]

kは整数であり、3次方程式3つの異なる整数解をもつ。kとこれらの整数解をすべて求めよ。

解答 シラミつぶしで調べて行く範囲を、いかに絞るか、ということで解決できる整数問題です。なお、のグラフを考えていくこともできます。

 ・・・①
①の3解をpqr ()とすると、3次方程式の解と係数の関係より、
 ・・・②
 ・・・③
 ・・・④
②より、
③に代入すると、
整理して、
ここでどうするかですが、

より、 ・・・⑤
なので、が出てくるように平方完成し、
4倍すると、
 ・・・⑥
より、

これをみたすような整数は、4通りしかありません。
また、②や⑤から考えると、
3解のうち最も小さなpです。
(i) ,つまり、のとき、
⑤より、
これを満たす整数
qは、
これは、⑥を満たさず不適。
(ii) ,つまり、のとき、
⑤より、
これを満たす整数
qは、
どちらも⑥を満たさず不適。
(iii) ,つまり、のとき、
⑤より、
これを満たす整数
qは、
このうち⑥を満たすのは、
このとき、②より、
④より、
(iv) ,つまり、のとき、
⑤より、
これを満たす整数
qは、
このうち⑥を満たすのは、
このとき、②より、
④より、
以上より、
のとき、
3解は4
のとき、
3解は13 ......[]

別解 ①~④のあと、①で、とすると、

となり題意を満たさないので、であり、は①の解にはなりません。
①で、とすると、

なので、

②より、prは異符号で、であって、
従って、であり、に限られます。

(i) のとき、
のとき、②より、
のとき、②より、
(ii) のとき、
なので②より、
prは、2解で、より不適。
(iii) のとき、
のとき、②より、
のとき、②より、

(i)と同じ解の組が出てきます。
以上より、
のとき、
3解は4
のとき、
3解は13 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/01/08(木) 13:59:39|
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