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名市大経済数学'08年[4]

名市大経済数学'08[4]

正の数xに対して、三辺の長さが
で与えられる三角形ABCを考える。次の問いに答えよ。
(1) のとき、三角形ABCが存在するようなkの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の正の数tに対して不等式
 ・・・①
および
 ・・・②
が成立することを示せ。ただし、②を証明する際に①を利用してよい。
(3) (2)の結果を利用して、任意の正の数xに対して三角形ABCが存在するようなkの値の範囲を求めよ。

解答 センター試験を意識して、相加平均・相乗平均の関係の利用法を考えてみましょう。(2)は、「②を証明する際に①を利用してよい」というヒントがないと、まごつくかも知れません。

(1) のとき、
なので、三角形ABCが存在する条件(2辺の和>他の1)は、
 ・・・③
かつ
 ・・・④
です。③より、
④より、
以上より、
......[]

(2) 相加平均・相乗平均の関係より、
 ・・・⑤
不等号の等号は、,つまり、のときに成立します。
相加平均・相乗平均の関係より、
 ・・・⑥
不等号の等号は、,つまり、のときに成立します。
⑤,⑥を辺々加えることにより、
 (不等号の等号はのときに成立)
不等式①が成立します。また、これより、
 ・・・⑦
右辺は、
ですが、左辺は、
よって、⑦より、
 (不等号の等号はのときに成立)
不等式②が成立します。
注.⑤-⑥としても、不等式②を示すことはできません。
かつ
は成り立たないからです。のときを考えてください。
もちろん、
かつ
も言えません。のときを考えてください。
また、上記では、⑤+⑥を作ることによって、不等式①を導いたのですが、これができたのは、⑤と⑥の等号成立条件が同じだからです。同じでなければ、⑤+⑥から①を導くことはできません。例えば、のとき、相加平均・相乗平均の関係より、
 ・・・(a)
ですが、だからと言って、
 ・・・(b)
 ・・・(c)
2式を辺々加え合わせて、
 ()
としても、(a)は導けないのです。
なぜかと言うと、

(b)の等号成立条件は、,つまり、
(c)の等号成立条件は、,つまり、
で等号成立条件が異なるからです。

(3)
より、なので、三角形ABCが存在する条件は、
 ・・・⑧
かつ
 ・・・⑨
です。⑧より、
この不等式の右辺は(2)より以下なので、
であれば、⑧は、任意の正の数xについて成り立ちます。
⑨より、
この不等式の右辺は(2)より以上なので、
であれば、⑨は、任意の正の数xについて成り立ちます。
以上より、任意の正の数
xに対して三角形ABCが存在するようなkの値の範囲は、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/01/07(水) 18:57:48|
  2. '08年入試(数学)
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