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愛媛大理数学'08年[5](その2)

その1からのつづき
阪大理系'08年前期[1]

2次の正方行列,・・・を
()
で定める。ただし、O2次の零行列、BC2次の正方行列とする。
(1) BCを用いて表せ。ここでE2次の単位行列とする。
(2) BC
とするとき、を求めよ。

解答 Cの累乗に規則性があるので、この問題は誘導通りに解答します。

(1) 与えられた漸化式を用いて、を計算してみます。
なので、 ・・・①
 ・・・②




これより、
 ()
と予測できます。
() のとき、②より予測は成り立ちます。
() のとき、予測が成り立つとして、



よって、のときも予測は成り立ちます。
()()より、において予測は成り立ちます。
......[]

(2) (1)の結果の中にCの累乗が出てくるので、,・・・ を調べてみます。

従って、n0以上の整数として、
(1)より、
右からをかけて、
......[]
追記.2項間漸化式のようにしてやろうとすると、行列Cの固有値が虚数()になり、うまく行きません(高校範囲外であれば行列の成分に虚数が出てきてもよいのですが)

広島県大
'08[5]

条件
()で定められる2次の正方行列を考える。ここで、である。
(1) を求めよ。
(2) 数学的帰納法により、は逆行列をもつことを示せ。
(3) を示せ。
(4) を求めよ。

解答 数列であれば、


という漸化式で、両辺の逆数を考え、

とすると、が等差数列になる、というタイプのものです。
行列では、逆行列を考えると等差数列と類似の形が出てきます。


(1) ......[]

(2) () のとき、(1)よりは逆行列をもちます。
() のとき、が逆行列をもつと仮定します。
問題文の漸化式でとして、
右からをかけると、
これは、の逆行列がであることを意味します。 ・・・①
よって、も逆行列をもちます。
()()より、は逆行列をもちます。

(3) ①より、

(4) (3)の結果を繰り返して使うことにより、
......[]

九州工大工'08年前期[3]

行列
AB
とする。2次の正方行列 ()
により定める。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) とする。すべての自然数nに対して
が成り立つことを数学的帰納法によって示せ。
(3) 自然数nに対してとおく。を求めよ。
(4) 自然数nに対してとおく。を求めよ。
(5) 自然数nに対してを求めよ。

解答 行列の連立漸化式ですが、数列の連立漸化式と同じ感覚でできます。

(1)
......[]
......[]

(2)
() のとき、より成り立ちます。
() のとき、が成り立つと仮定します。
よって、のときも成り立ちます。
()()より、すべての自然数nに対して、が成り立ちます。

(3)  ・・・①
 ・・・②
①+②より、


......[]

(4) ①-②より、
(3)と同様にして、





(5)
......[]


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  1. 2009/01/05(月) 14:45:16|
  2. '08年入試(数学)
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