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愛媛大理数学'08年[5](その1)

愛媛大理数学'08[5]

行列AEO
とする。ここで、abcdは実数で、ある実数kに対して、
をみたしている。
(1) を示せ。
(2) とおく。自然数nに対して、
が成り立つことを示せ。
(3) のとき、 (nは自然数)を求めよ。

解答 固有値重解型の行列の累乗の問題です。素直に対角化したり、スペクトル分解したりするのでは解決できないので、特殊な技巧が必要になります。本問では、(2)でその技巧が提示されていて、(2)を利用してを求めることになります。

 ・・・①
よって、

(2) 数学的帰納法により示します。
() のとき、
より、成り立ちます。
() のとき、
が成り立つと仮定します。この両辺に左からAをかけて、
①より、なので、


よって、のときにも成り立ちます。
()()より、自然数nに対して、が成り立ちます。

別解 と書けて、
 (つまり、は積について交換できる)
ので、二項定理より、
 ・・・②
(1)より、なので、のとき、
です。これより、②では、のところだけが生き残って、

(3) のとき、ハミルトン・ケーリーの定理より、
となるので、(1)の場合になります。
また、(2)の結果でとすることにより、
......[]

追記.固有値重解型の行列の累乗の問題を初めて見る受験生には、(2)の別解は、あまりに技巧的と映るかも知れませんが、最近少なくなったとは言っても、ポピュラーで古典的な技巧なので、スペクトル分解の形と見比べながら頭に入れておいてください。例えば、早大理工'92[1]

とする。条件をみたす整数
abcdを成分とする行列を適当に選ぶとき、が成り立つ。このとき、
(1) xyを求めよ。
(2) ()を求めよ。

では、(1)は、実質的に整数問題なので、
の左からPをかけて、


 ・・・①
3式より、 ・・・②
これを第
1式×に代入すると、より、

......[]
②より、
①の第
4式より、
これとより、

y2の約数ですが、より、こうなるのは、のときのみです。
......[]
とすることになりますが、(2)は、(1)と無関係に、
ハミルトン・ケーリーの定理より、 ・・・③
として、二項定理より、

③より、では、となるので、


......[]
とするべきです。

さて、
2008年度の入試問題で、言わば「行列の漸化式」を考えるようになっている問題が目に付くので、まとめておくことにします。以下、BCDPQ2次の正方行列、E2次の単位行列として考えることにします。


という漸化式は、言ってみれば、公比
Bの等比「行列」列のようなものですが、これは、数列と同じく、一般項

です。


2項間漸化式
 ・・・①
は、数列の場合と同様に、
Dに置き換えた
 ・・・②
を考えると、

従って、存在すれば

として、①-②を作ると、

「行列」列は、公比
Bの等比「行列」列なので、


となり、行列の累乗の問題として求めれば、数列の場合と全く同様にして解答できます。
が存在しない場合は、数列の場合のようには行きません。として、①の項番号を
1つずつ小さくしてBを順次かけた式を作り、



 ・・・・・・

これらを足し合わせると、両辺の,・・・,が消し合って、
 
()
が存在しないとき、Bは固有値1をもっています。もう1つの固有値をuとしてであれば、

を解き、

(スペクトル分解を参照)より、

 
()
 ()
となります。
固有値
1が重解になっている()場合は、本問愛媛大(2)の結果を用いて、





 ()

3項間漸化式
 ・・・③
では、かつが存在すれば、③を、
 ・・・④
 ・・・⑤
2通りに書き換えて、
が公比
Cの「行列」列であることから、
 ・・・⑥
が公比
Bの「行列」列であることから、
 ・・・⑦
⑥-⑦としてを左からかけることにより、

と、数列と同様に求めることができます。
のときには⑤は作れますが④が成立しません。⑦は使えるので、が存在しない場合も含めて以下のようにします
(このタイプの問題は、山口大医'08[4]を参照)
として、⑦の項番号を
1つずつ小さくしてCをかけた式を順次作り、


 ・・・・・・

これらを足し合わせると、左辺の,・・・,が消し合って、

 ()
の形を求めれば、を求めることができます。

以下に
2項間漸化式の場合の問題例を挙げます。

金沢大理工
'08年前期[1]

自然数
nに対して、2次正方行列
 ()
により定める。また、2次正方行列
 ()
を満たすとする。次の問いに答えよ。
(1) 数学的帰納法を用いて
 ()
が成り立つことを示せ。
(2) ある2次正方行列Cに対して、がすべてのnについて成り立つとする。このとき、Cを求めよ。
(3) (2)の条件をみたすのうち、逆行列をもたないものはに限ることを示せ。

解答
(1) () のとき、
より成り立ちます。
() のとき、
が成り立つと仮定します。
より、のときも成り立ちます。
()()より、
 ()
が成り立ちます。
注.として、ハミルトン・ケーリーの定理より、
より、Dの固有値は23で、を連立すると、

ここからも、
となります。

(2) として、
 ・・・①
Gと置き換えた式
 ・・・②
より、
を左からかけて、
①-②より、
(1)と全く同じ形の漸化式に従っています。
 ・・・③
となるので、同様に、
 ・・・④
 ・・・⑤
⑤がすべてのnについて成り立つとすれば、においても成り立つので、
においても成り立つので、
として、

これらを満たす
abcdは、のみで、

逆に、のとき、すべてのnについて⑤が成り立ちます。
......[]

(3) (2)よりなので、④において、
③より、
の行列式は、
のとき、
のとき、より、
よって、の中で逆行列をもたないものはに限ります。
その2へつづく
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2009/01/05(月) 14:43:16|
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