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北大理系数学'08年前期[5]

北大理系数学'08年前期[5]

関数の範囲で定義された連続関数とする。
(1) を満たすは定数関数のみであることを示せ。
(2) を満たすを求めよ。

解答 積分方程式と呼ばれるタイプの問題です。

(1) 上端と下端が定数の定積分の値は定数になるはずですが、を定数とおくことはできません。なぜなら、xが変化するとの値は変化してしまい定数ではないからです。被積分関数の中のが積分の際に邪魔になります。で、tで積分する際にtが変化してもは変化しないので、を定数として積分の外に追い出します。
 (不定積分定積分を参照)
は定数になるので、これをAとおき、
 ・・・①
これより、
 ・・・②
これを①に代入すると、
 (不定積分の公式を参照)

より、
②より、

(2) (1)と同様にして、
 ・・・③
とおくと、

 ・・・④
これを③に代入すると、
ここで、

 (部分積分法を参照)
より、

④より、 ......[]

追記.積分方程式にはいろいろなタイプがあります。
定積分の上端も下端も定数の場合には、上記にように、定積分を文字に置き換えると、未知の関数の形が決まり、定積分が実行できるようになります。
上端、下端が変数になっている問題、例えば、
大分大工
'07[4]

aを正の定数とする。関数
を満たす。ただし、対数は自然対数とする。
(1) を求めよ。
(2) aの値を求めよ。

この問題では、 (定積分の微分を参照)を使います。
(2)では、定積分を0にするように、上端のxを下端のaに一致させます。
(1)  ・・・①
①の両辺を
xで微分すると、
 
(積の微分法を参照)
......[]
(2)
①において、とすると、


より
......[]

北大の本問では、被積分関数の中のとすることによって、簡単に積分の外に追い出すことができましたが、簡単には追い出せないタイプの問題があります。例えば、
宮城教育大
'06[5]

次の各問に答えよ。
(1) 置換積分法を用いて、不定積分を求めよ。
(2) 次の等式を満たす関数を求めよ。

(1) とおくと、より
(C:積分定数) ......[] (置換積分を参照)
(2) 被積分関数の中のxが積分の邪魔になります。このxは簡単には積分の外に出て行ってくれません。加法定理を使います。
これでxを積分の外に追い出すことができました。
 ・・・①, ・・・②とおくと、


 ・・・③
③を①に代入すると、
ここで、
2項の積分は、とおくと、tのとき、u
 ・・・④ (置換積分法を参照)
よって、
 ・・・⑤
③を②に代入すると、
1項の積分は④より
2項の積分は、とおくと、tのとき、u
よって、
 ・・・⑥
⑤,⑥を連立すると、
③より、
......[]

さらに、被積分関数に三角関数が入り、上端、下端に変数が入るタイプもあります。
東京理科大理
'98[3]

xの関数が、関係
を満たすとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 正弦の加法定理を用い、の第2次導関数で表せ。
(2) として、を求めよ。
(3) (2)の場合についてを求めよ。

 ・・・①
このタイプはxで微分するとともに、定積分の値が0になるように、とします。
(1) まず、加法定理を用いて、被積分関数の中のxを積分の外に追い出します。
 ・・・②
xが積分の外に出たので、両辺をxで微分します。
 (積の微分法を参照)
 ・・・③
さらにxで微分すると、
中カッコ内は②よりです。よって、
......[]
(2)
xで積分して、
 ・・・④
③において、とすると、定積分は0となり、
④でとして、


x
で積分して、
 (部分積分法を参照)
 (:積分定数)
 ・・・⑤
②において、とすると、定積分は0となり、
⑤でとして、

......[]
(3) (1)の結果を用いて、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/12/25(木) 15:11:10|
  2. '08年入試(数学)
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