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大分大医数学'08年[2]

大分大医数学'08[2]

abをみたす定数とする。xyをみたしながら変化するとき、のとり得る値の範囲を求めよ。

解答 2変数関数が、ある条件のもとにどういう変化をするか調べる問題です。

 ・・・①
のとき
のとき
のときよりです。
として、
陰関数の微分法によりxで微分すると

より、
従って、
x0から1まで増加するとy1から0まで減少します。
とおきます。
①の関係を前提として、において、
zxで微分すると、
 ・・・②
(この微分は、①より,これを代入したの微分になっています)
より、
とすると、
 ・・・③
①に代入すると、


このとき、③より、

のとき、
のとき、

x0から1まで増加すると、y1から0まで減少するので、②のは減少し、においてはにおいてはです。
以上より、次の増減表が得られます
(関数の増減を参照)
x0

1

0
z

より、のとりうる範囲は、
......[]

追記.大分大医学部、旧大分医大時代の'94[3]で、

abcを正の定数とする。
(1) 2つの正数xyを満たすとき、不等式が成り立つことを示せ。また、等号が成立するxyの値を求めよ。
(2) Oを原点とするxyz空間において、定点Pを通りx軸,y軸,z軸の正部分と交わるすべての平面Sを考える。このような平面Sx軸,y軸,z軸と交わる点を、それぞれ、ABCとする。このとき、3つの線分OAOBOCを辺にもつ直方体の対角線の長さはSとともに変化するが、その最小値を求めよ。

という問題が出題されています。本問と同系統の問題ですが、こちらは難問です。
(1)は本問と同様に解答できます。
 ・・・①
を陰関数の微分法で微分し、

なので、xが増加するとyは減少します。
とおいて、
xで微分すると、

分子の2つめのカッコは正なので、とすると、

 ・・・②
これを①に代入すると、

②より、
このとき、

xが増加すると、yは減少するので、は増加します。
①で、より、です。
以上より、次の増減表が得られます。

xa


0
z

増減表より、
等号が成立する
xyの値は、

(2)の平面Sの部分だけ現行高校学習指導要領の範囲外ですが、平面Sの方程式は、Ax座標,By座標,Cz座標をpqrとして、
となります。定点Pを通るので、
直方体の対角線の長さは、です。(1)3文字の場合に拡張した問題になっています。abcpqrがすべて正なので、です。
いきなり
3変数は大変なので、1文字rを固定し、を右辺に移項します。
両辺をで割ると、
とおくと、(1)より、

よって、
この右辺は、とおくと、
より、,両辺をで割って、

従って、①と同じ形をしています。(1)より、

ここで、左側の不等号の等号が成立するのは、
のとき。右側の不等号の等号が成立するのは、
のときで、このとき、
結局、左側の不等号と右側の不等号で同時に等号が成立するのは、
のときです。
対角線の長さの最小値は、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/12/20(土) 17:46:43|
  2. '08年入試(数学)
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