FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

一橋大数学'06年前期[3]

一橋大数学'06年前期[3]

大きさがそれぞれ531の平面上のベクトルに対して、とおく。
(1) を動かすとき、の最大値と最小値を求めよ。
(2) を固定し、をみたすようにを動かすとき、の最大値と最小値を求めよ。

解答 座標系を設定したり、各ベクトル間の角の関数を考えたりすると泥沼にハマり込むことになります。さっさと正攻法を見限って、いかに簡便に考えることができるか、と頭を切り換えるところがポイントでしょう。

(1) のなす角をaのなす角をbのなす角をgとすると、
 (内積を参照)
より、
ですが、なので、
 ・・・①
となります。この不等式の右側の不等号の等号が成立するのは、,つまり、で、3個のベクトルが同じ向きを向いているときです。
よって、の最大値は、となるとき、となります。
①の左側の不等号の等号が成立するのは、のときですが、こうなる可能性があるかを調べてみます。
まず、について、
なので、
つまり、 ・・・②
なので、,つまり、ということはあり得ません。従って、①の左側の不等号が成立することはありません。ですが、について②が得られたので、これを使ってを考えてみます。のなす角を
q として、

 (ここで、です)
を固定して、2次関数とみると、より、のときに最小値をとります。のとき、
不等号の等号は、のときに成立しますが、がちょうど逆向きになるときに、となります。
は、②において左側の不等号の等号が成立するときに起こりますが、このとき、はちょうど逆向きで、となっています。さらに、がちょうど逆向きで、
(に注意),つまり、のとき、は最小値1をとり、は最小値1をとります。
最大値:
9,最小値:1 ......[]

(2)

 ・・・③
(1)ではを考えて最小値を求めることができたので、ここでは、が出てくるようにして考えることにします。




なので、

つまり、 ・・・④
④の右側の不等号の等号が成立するのは、,つまり、が同じ向きで、となるときに成立します。
このとき、③より、

となるので、となるの位置関係があり得ます。よって、の最大値はです。
④の左側の不等号の等号が成立するのは、,つまり、が逆向きになり、となるときに成立します。
このとき、③より、

となるので、となるの位置関係があり得ます。よって、の最小値はです。
最大値:,最小値:
......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/12/05(金) 14:31:26|
  2. 一橋大数学
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<静岡大理系数学'08年前期[2] | ホーム | 電通大数学'08年前期[4]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/724-fb785bfc
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)