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電通大数学'08年前期[4]

電通大数学'08年前期[4]

xyz座標空間内において、点Pを中心とし半径がの球面Sを考える。ある平面aと球面Sが交わってできる円D上に3ABCがある。以下の問いに答えよ。ただし、とする。
(1) 内積およびの値を求めよ。
(2) Dの中心をQとする。点Qは平面a上にあるので、ベクトルはある実数stを用いて
と表される。線分ABACの中点をそれぞれMNとするとき、ベクトルstを用いて表せ。
(3) stの値を求めよ。
(4) Dの半径rと中心Qの座標を求めよ。
(5) 平面aと垂直なベクトルを成分で表せ。
(6) 球面Sの中心Pの座標を求めよ。ただし、点Pz座標は負でないとする。

解答 内積計算によって、条件をみたす点の位置を求めていく、単なる空間ベクトルの計算問題ですが、適度に複雑で、センター試験練習用としてちょうど良いと思います。空間ベクトルを苦手とする人は、こういう問題にしっかり取り組んでおいてください。
(2)については、ベクトルの1次独立を参照してください。

(1)

......[]
......[
]
......[
]

(2) ......[]
......[]

(3) より、
 ・・・①
より、
 ・・・②
②×
5-①×6より、
  ......[]
①に代入して、
  ......[]

(4)
......[]
Qの座標は、 ......[]

(5) 平面aと垂直なベクトルは、平面a上のベクトルとも垂直です。
とおくと、より、

よって、
より、

......[]

(6) と平面aは垂直なので、 // です。
また、なので三平方の定理より、
Pz座標は負ではないので、±は、マイナスの方を採って、
よって、Pの座標は、 ......[]

追記.(5)で、2つのベクトルに垂直なベクトルを求めています。本問のような論述問題では使えませんが、空所補充問題では有効な技巧が知られています。
であるとき、
外積

 
を考えると、は、の双方と垂直であることを確かめることができます(外積を参照)。試験場で証明していては遠回りになるので、空所補充問題のときに、「2つのベクトルのyz成分で作った行列式x成分,zx成分で作った行列式をy成分、xy成分で作った行列式をz成分とするベクトルは、もとの2つのベクトルに垂直なる」ことを記憶しておいて使うとよいと思います。
本問では、

となるので、と平行で大きさ1のベクトルを求めればが得られます。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/12/04(木) 18:26:26|
  2. '08年入試(数学)
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