FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

筑波大数学'08年[6]

筑波大数学'08[6]

放物線C上の異なる2PQ ()における接線の交点をRとする。
(1) XYtsを用いて表せ。
(2) PQを満たしながらC上を動くとき、点Rは双曲線上を動くことを示し、かつ、その双曲線の方程式を求めよ。

解答 (1)で基本対称式が出てくるので、(2)を対称式になるように変形して考えます。こうしたタイプの問題では、隠れた条件に注意する必要があるのですが、この問題では、注意を忘れても影響はありません(追記を参照)

(1) C
微分すると、
Pにおける接線:
 ・・・①
Qにおける接線:
 ・・・②
①,②を連立すると、

より、
①より、
よって、①,②の交点をとして、
......[]

(2) 放物線の接線がx軸に垂直になることはなく、つねに、①,②の傾きが存在するので、tanを考えることにします。
①,②とx軸のなす角をab とします。
です。右図より2接線のなす角は (ですが、ではないので注意してください)で、これがであることから、
 ・・・③
(1)の結果を見れば、③を、基本対称式を用いて表すのだろうと思うでしょう。ですが、は対称式ではないので、このままではうまく行きません。そこで、2乗を考えると、は対称式です。なので、
従って③は、
ここに、(1)の結果、を代入します。
根号部分は正なので、この式が意味をもつのは、,つまり、
のときです。この条件のもとに分母を払って2乗すると、
整理すると、
(ただし、)
これより点R双曲線上を動き、その双曲線の方程式は、
......[]

追記.基本対称式を用いる問題では注意するべきことがあります。条件が隠れていることがあるのです。上記で、
より、stx2次方程式
2解になりますが、stは実数なので、この2次方程式は実数解をもち、判別式≧0です。
なので、この問題では、Rは放物線から下側になければならないのですが、得られた双曲線はから下にあるので、隠れた条件が表に出てくることはありません。
ですが、


が円の周上を動くとき、点軌跡を求めよ。

という問題では、として、
より、軌跡の方程式:が得られますが、放物線上の点がすべて答になるわけではありません。xyは、t2次方程式:
2解で、xy実数より、この2次方程式が実数解をもつことから、判別式:
となり、と合わせて、

よって、点の軌跡は、放物線:の部分、ということになります。
xyが実数”というところに条件が隠れていて、問題文に現れていないので注意が必要です。

また、本問では、
2接線のなす角がになっていて、2接線の交点の軌跡が双曲線になりますが、2接線が直交するのであれば、傾きの積= (2直線の平行・垂直を参照)より、
より、
となって、2接線の交点の軌跡は放物線の準線になります。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/12/02(火) 17:47:12|
  2. '08年入試(数学)
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<埼玉大物理'08年[2] | ホーム | 一橋大数学'06年前期[2]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/721-f69eb6af
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。