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東北大理系数学'08年前期[1]

東北大理系数学'08年前期[1]

多項式について、次の条件(i)(ii)(iii)を考える。
(i)
(ii)
(iii)
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 条件(i)をみたす多項式の次数は4以下であることを示せ。
(2) 条件(i)(ii)(iii)をすべてみたす多項式を求めよ。

解答 多項式というのは、文字をかけ合わせたり足し合わせたりしてできる式であって、「次数」は文字を何個かけているか、という数、つまり、0以上の整数になります。単に“多項式”と言う場合は、各項で文字を2個かけているので、2次の多項式ですが、“”と言う場合は、xに着目しているので、の中にという項があるときには、かけれらているxの個数の4を次数とします。

(1) n0以上の整数とし、の中にn次の項があって、が含まれるとします。このxを代入すると、の中にが出てきます。また、にはという項が出てきます。
xの多項式であるためには、内の各項のxの指数は0以上の整数でなければなりません。

即ち、には4次までの項しか含まれないので、の次数は4以下です。

(2) (1)より4次の多項式なので、
とおけます。
条件(i)より、
これが恒等式となるために、
 ・・・①
これと、条件(iii)より、
 ・・・②
条件
(ii)において、とすると、
①より、 ・・・③
②に代入して、 ・・・④
条件
(ii)において、とすると、
①,③,④より、



④より、
①より、
これらと③より、 ・・・⑤
このは、
より、条件(ii)をみたします。
......[]

追記.上記の⑤では求まるのですが、ここで即、「答え」とやってはいけません。
上記では、条件
(i)についてはすべてのx(iii)についてはの場合について確認できていますが、条件(ii)は、そうではありません。bを求めるために、条件(ii)において、としてみただけで、他のxの値について、本当にが満たされるのか、確認されていないのです。
言い換えると、条件
(ii)をみたすための必要条件が“”となった(条件(ii)⇒“)だけであって、“”が条件(ii)のための十分条件であること(”⇒条件(ii))が確認されていません。そこで、⑤以下で実際にを計算して確認する必要がありました。
必要性、十分性は、センター試験の頻出テーマですが、理解不十分なために、センター試験会場で鉛筆を倒して解答した、という話をよく聞きます。
「必要条件」というのは、要求を満たすために最低限必要な条件
(ゆるい条件)であり、「十分条件」というのは、これであれば要求は完全に満たされるという条件(厳しい条件)です。
「必要条件」を求めただけでは、得られた答が全部条件に適しているか怪しい、「十分条件」を求めただけでは、得られた答は確かに条件を満たすが他にも答があるかも知れない、と思うようにしましょう。「必要十分条件」を求める、ということは、これらの答はすべて要求を満たしていて、他には答はない、という解答を求める、ということです。
「必要条件」、「十分条件」という言葉の意味をしっかり理解しておきましょう。なお、
条件・命題を参照してください。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/11/29(土) 16:35:42|
  2. '08年入試(数学)
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