FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

静岡大理数学'08年後期[5]

静岡大理数学'08年後期[5]

は区間で定義された連続関数であり、
に対して、
を満たすとする。 ()とする。次の問いに答えよ。
(1) および
に対して、
が成り立つことを示し、さらにであることを示せ。
(2) nを自然数とし、に対して、0または1とする。次の等式を証明せよ。
(3) に対して

()
とする。ただし、に対して、を越えない最大の整数を表す。このとき、 ()および
であることを示せ。
(4) ()であることを示せ。

解答 (2)も数学的帰納法の形にするのが難しいのですが、(3)はさらに難解です。

 ・・・①
() ・・・②

(1) ②において、とすれば、
②において、とすれば、
として、②の
xyとすれば、 ・・・③
②+③より、
両辺を
2で割り、
 ・・・④
一方、②のxとすれば、
これと④より、に対して、
 ・・・⑤
①において、とすると、
⑤において、とすると、

(2) 数学的帰納法だろう、という雰囲気は漂うのですが、問題は、どうやって、数学的帰納法の形にするか、ということです。(1)を使えば、の場合は何とかなるでしょう。
のとき、
が成り立つとして、のときの等式
を導くのに、①,⑤を利用することになるだろう、ということは予測がつきます。ここで考えるべきことは、①,⑤のxyを何にするか、ということです。が出てくるので、のときの形と何かを足して2で割ることになるでしょう。すると、という形が出てきてしまいます。
ここに出てくる,・・・,は、,・・・,の分子、という意味ではありません。のときののときのが同じものでなければならない、という制約もありません。それぞれ、
01を表す、というだけのことです。であれば、のときと、のときとで、iは同じ番号になっている必要はありません。
そこで、のときの形が出てくるように、のときの形を、ではなく、番号を
1つずらして、と書くことにします。これと (0または1)を足して2で割ったものをと考え、以下のようにします。
() のとき、(1)より、
よって、,いずれの場合においても、
が成立します。
() のとき、k個の文字,・・・,(項の番号に意味はありません)をそれぞれ0または1だとして、
 ・・・⑥
が成立すると仮定します。
0または1だとして、①,⑤のxyとすると、

より、
これと⑥より、
よって、のときも成立します。
()()より、nを自然数として、
が成立します。

(3) ここも数学的帰納法だろう、ということはわかりますが、与えられた数列をどう料理するのか、何をすれば、
 ・・・⑦
を示すことになるのか、見えてきません。ガウス記号まで登場するのですが、まずは、問題文の
から出発します。では、ではどのようになるでしょうか?
Aを整数、Bを実数だとして、なので、
です。続けていくと、

などとなるので、

となることが予想できます。これを数学的帰納法で導くようにします。また、という形が出てくるので、⑦にをかけてみると、
 ・・・⑧
となりますが、,・・・,,・・・ は、それぞれ0または1です。また、より、すべての自然数iについてとなることはないのです。すべての自然数iについてなら、初項,公比の無限等比級数の和がとなることから、に反します。
よって、数列の中には、となる項があります。
同様に、ある
jについてで、となるすべての自然数iについてだとすれば、これは、で、となるすべての自然数iについてであることと同じです。
従って、⑧の,・・・
の中には0になるものがあり、
つまり、
 ・・・⑨
ここで、指数と項番号を1ずつずらすと、
 ・・・⑩
⑨-⑩×2より、
これで、先に予想した形が出てきます。これで、この設問の枠組みが見えてきました。

問題文の漸化式で与えられる数列について、数学的帰納法により、
 ・・・⑪
 ・・・⑫

 ・・・⑬
であることを示します。
() のとき、ですが、
⑪でとすると、
よりなので、となります。
⑫でとすると、
となります。
また、よりです。
また、
よって、のとき成立します。
() のとき、⑪,⑫,,⑬が成立すると仮定します。

 ・・・⑭
です。
 ・・・⑮
より,よって、
⑭,⑮より、
よって、のときにも成立します。
()()より、すべての自然数nについて、⑪,⑫,,⑬が示せました。
⑬より、
(m:整数) ”より、

で割って、
 (nがすべての自然数であることに注意)

(4) と、をみたす任意のxについて、(3)より、
の形に表せば、(2)より、
よって、が連続な関数であることから、

追記.は、曲線上の2を通過する直線の方程式です。
曲線上の
2を通過する直線の傾きはです。
曲線上の
2を通過する直線の傾きはです。
だとして、曲線上の
2点を通過する直線の傾きが増加するとき、つまり、
であるとき、曲線は「下に凸」である、と言います。このとき、であることが平均値の定理を使って証明できます(曲線の凹凸を参照)。曲線上の2点を通過する直線の傾きが減少するとき、つまり、
である場合には、曲線は「上に凸」である、と言います。このときはです。
ここで、
xyだとすると、なので、曲線が下に凸であれば、
となり、
が成立します。この不等式は、下に凸な曲線上の点は、この点の両側に位置する曲線上の2の中点よりも下にある、ということを意味しています(図に描いてみれば明らかです)
同様に、上に凸な曲線上の点は、この点の両側に位置する曲線上の
2の中点よりも上にあります。この事実は、証明問題などに応用できます(阪大理系'07年前期[2]を参照)
本問では、

だと言っているのですが、xyの存在範囲においては直線的になっていることを意味しています。本問は、結局、直線上の2点を結ぶ直線上の点は、もとの直線上の点になっている、つまり、は同じ直線になる、ということを言っています。自明のことかも知れませんが、(3)では、2分法(2点の中点を考え、さらに、元の点と中点のそのまた中点を考えていく)のアルゴリズムを数列を使って一般的に考えようとしているので、難解な問題になっています。


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/11/27(木) 12:57:14|
  2. '08年入試(数学)
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<立命館大物理'08年[3] | ホーム | 一橋大数学'06年前期[1]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/717-445a93f0
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。