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秋田大医数学'08年[1]

秋田大医数学'08[1]

整数mに対し、とおく。次の問いに答えよ。
(1) 方程式が、整数の解を少なくとも1つもつようなmの値を求めよ。
(2) 不等式を満たす整数xが、ちょうど4個あるようなmの値を求めよ。

解答 本問のような、あてどもない整数問題が、試験場ではやっかいかも知れません。

(1) 方程式:2解をpqとし、pを整数だとします。
 ・・・①
 ・・・②
①より、mは整数なので、pが整数ならqも整数であって、2解はともに整数、ということになります。
すると、②より、
 ・・・③
となり、は整数なので、題意をみたすためには、m4の倍数になることが必要だとわかります。
①より、,これを③に代入すると、
4をかけて、
 ・・・④
こういう形が出てきたら、(整数A)×(整数B)(整数C)の形を作ることを目指します。まずは④左辺の因数分解を試みます。本問のような問題では、普通は因数分解できないのですが、このとき、因数分解できずにあぶれてしまった項が、整数の定数になるように工夫します。
まず、
に目を付けます。残りは、ですが、ここからをひねりだすのです。
なので、④を、


と変形します。4をかけて左辺に15だけを残すと、
 ・・・⑤
これで、は整数なので、15の約数であって、
に限られます。
このうち
pが整数になるのは、
のときのみです。
(i) のとき、⑤は、

(ii) のとき、⑤は、

(iii) のとき、⑤は、

(iv) のとき、⑤は、

つまり、のとき、2解は、1
のとき、
2解は、04になります。
よって、
......[] (mは確かに4の倍数になっています)

(2) まず、
 ・・・⑥
より、のグラフは、軸:に関して対称です。・・・⑦ (2次関数を参照)
より、方程式:は、相異なる2実数解をもち、aを実数として、⑦より、が解ならも解です。このとき、をみたすxの範囲は、
を満たす整数xが、ちょうど4個ある、ということは、の範囲に整数がちょうど4個ある、ということです。
mが偶数だとします。は整数です。このとき、⑦より、kを整数として、が、を満たす最小の整数だとすると、が、を満たす最大の整数になります。だとすると、を満たす整数は、個存在することになり、4個、ということはあり得ません。
従って
mは奇数です。を満たす4個の整数は、ということになります。をみたしますが、をみたしません。
こうなるための必要十分条件は、⑦より、
かつ
です。⑥より、
 ・・・⑧
⑥より、
 ・・・⑨
⑧かつ⑨より、
 ・・・⑩
です。
より、⑩をみたす奇数
mは、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/11/25(火) 11:03:49|
  2. '08年入試(数学)
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