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金沢大理工数学'08年後期[4]

金沢大理工数学'08年後期[4]

関数のグラフ上の点における接線のy切片をとする。次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) を満たす正の数q を小さい順に
とする。を求めよ。
(3) 無限級数の和を求めよ。ただし、のときが成り立つことを用いてもよい。

解答 面倒な計算問題ですが、(3)に、(等差)×(等比)の和の形が出てきます。元の和に(等比)の公比にあたる数をかけた和を、元の和から引くと、(等比)の和の形+アルファ、になって和が求められる、というのは、理系受験生の必須技巧です。

(1)
 (積の微分法を参照)
における接線
......[]

(2)
とすると、 ()
より、 ......[]

(3)

 ・・・① ( )
 ・・・② (等比数列を参照)
とおくと、
 ・・・③
②,③を①に代入すると、
ここで、とすると、より、
......[]

追記.上記でを求めるところは、の行を、の行と1つずらせて、eの指数がそろうように書き、上から下を引くところがミソです。
 ・・・④
 ・・・⑤
のようにΣを使って書く場合、Σを使ったまま、④-⑤とし、


のように変形できるとよいと思います。

本問では、微分計算の後で
(等差)×(等比)の形が出てきますが、この形は、確率の問題の中でよく登場します。
例えば、袋の中に白球と黒球が入っていて、それぞれの確率で取り出す試行を行うとき、黒球を取り出した時点で試行は終了、白球を取り出した場合には試行を繰り返すとき、白球を取り出す回数の期待値
Eを求める、という場合、

 ・・・⑥
 ・・・⑦
⑥-⑦より、




ここでとすると、
よって、



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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/11/22(土) 10:56:05|
  2. '08年入試(数学)
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  4. | コメント:0
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