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中大理工数学'08年[3]

中央大理工数学'08[3]

鋭角三角形ABCの外接円Sの中心(外心)Oとし、Sの半径をRとする。円Sの弧と直線BCCAABに関して対称な円弧をそれぞれとする。このとき、3つの弧は三角形ABCの垂心で交わる。このことを次のようにして示せ。
三角形
ABCの外心Oと直線BCCAABに関して対称な点をそれぞれとする。また、とし、Hにより定まる点とする。
(1) を用いて表せ。
(2) で表し、三角形は三角形ABCと合同であることを示せ。
(3) を用いて表し、3つの弧は点Hで交わることを示せ。
(4) を用いて表し、点Hは三角形ABCの垂心であることを示せ。

解答 誘導がなければ難問ですが、親切な誘導がついているので軽快に解いてゆけると思います。

(1) BCCAABの中点をKMNとします。
 (ベクトルの内分、外分を参照)
OBCに関して対称,OCAに関して対称,OABに関して対称なので、
......[]

(2) ......[]
これより、です。同様に、

よって、三角形と三角形ABCは、3辺が等しく、合同です。

(3)


......[]

よって、より、です。
ということは、
HBCを中心とする半径Rの円周上の点であり、Hは、円弧上の点です。・・・①
同様にして、

よって、であって、HCAを中心とする半径Rの円周上の点であり、Hは、円弧上の点です。・・・②

よって、であって、HABを中心とする半径Rの円周上の点であり、Hは、円弧上の点です。・・・③
三角形
ABCは鋭角三角形なので、①,②,③より、3つの弧は点Hで交わります。

(4) ......[]
 (内積を参照)



以上より、Hは三角形ABCの垂心です。

追記.よく知られた事実ですが、外心に原点があるとして、三角形ABCの重心Gの位置ベクトルは、
となり、垂心Hの位置ベクトルが、
であるということは、重心Gは、外心Oと垂心Hを結ぶ線分OH12に内分する点だということです。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/11/20(木) 12:47:26|
  2. '08年入試(数学)
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