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茨城大理数学'08年[4]

茨城大理数学'08[4]

次の条件をみたす自然数の組を考える。
このような組に対して2次方程式
の解の虚部の絶対値をとおく。ただし、複素数 (ab は実数、iは虚数単位)の虚部とは、実数b のことである。次の各問いに答えよ。
(1) の大小を比較せよ。
(2) が最大となる組を求めよ。
(3) が整数となる組のうちで、が最大となるものをすべて求めよ。

解答 整数問題の基本は「シラミつぶし」です。工業製品や農産物の中に不良品が混入して、どれが良品でどれが不良品か見分けがつかないときは、全数チェックが必要になります。全部調べるうちから合理的な手法が出てくるのであって、最初から「うまく切り抜けよう」と思わないことが大切です。
特に、センター試験の整数問題では、全数チェックで解決することが多いので、注意してください。


2次方程式の解は、です。のときには、
となります。これより、

(1)

より、
(等号は、のときのみ成立)
......[]  (等号は、のときのみ成立)

(2)
根号内は2次関数で、が軸位置18に近いほど大きくなります。よって、は、が最大、つまり、aが最小のとき、最大値をとります。(1)の結果と合わせて、
が最大となる組 ......[]

(3) とおきます。題意よりkは整数です。整数問題では、「(整数A)(整数B)×(整数C)」の形を作るとうまく行くことがあります。BCAの約数に限られるので、全数チェックする範囲を絞ることができます。
2乗して、
 ・・・①
ここで、の約数です。
4の倍数が、,・・・,の約数になるので、bは少なくとも偶数です。また、より、です。なので、に限られます。を最大とするの組を求めるので、まず、の場合から調べます。①でとして、
より、に限られます。
(i) のとき、
は平方数になるので、に限られます。
のときのとき
(ii) のとき、
右辺を見ると、なので、に限られますが、このとき、は平方数ではなく、①をみたすの組はありません。
(i)(ii)より、が最大となる組 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/11/18(火) 10:28:45|
  2. '08年入試(数学)
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