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京大文系数学'08年[5]

京大文系数学'08[5]

n角形とその外接円を合わせた図形をFとする。F上の点Pに対して、始点と終点がともにPであるような、図形Fの一筆がきの経路の数をで表す。正n角形の頂点をひとつとってAとし、とおく。また、正n角形の辺をひとつとってその中点をBとし、とおく。このときabを求めよ。
注:一筆がきとは、図形を、かき始めから終わりまで、筆を紙からはなさず、また同じ線上を通らずにかくことである。

解答 文系学部の問題ですが、理系学部の問題よりも難しい気がします。理系の皆さんは、本問を文系の問題と軽く思わないようにしてください。

を考えてみましょう。
まず、の場合、正
3角形ACDで考えてみます。
最初に
ACと進む場合とADと進む場合の一筆書きの経路数は同じなので、ACの方を考えます(あとで2倍します)。円弧AC上を通るのか辺AC上を通るのか2通りあります。Cに来た後、
(i) CAと進む場合、CA間は先に通らなかった方を通り、以後は、ADCDAと進むしかありません。AD間、DC間は、それぞれ、円弧を通るのか辺を通るのか2通りあるので、経路数は通りあります。
(ii) CDと進む場合、CD間は2通り、Dに来た後、DCADAと進むか、DACDAと進むか、DADCAと進むかですが、いずれの場合も、DA間の進み方が2通りあり、経路数は通りあります。
(i)(ii)を合わせ、通り。・・・①

n角形についていきなり考えるのは難しいので、漸化式を立てることを目指します。漸化式は、正n角形の場合と正角形の場合を比較することになります。この2つの場合を比較しやすいように、正n角形の頂点を,・・・,,正角形の頂点を,・・・,とします。
n角形の場合、最初にAとして書き始め、と進む場合と、と進む場合とでは、それ以降の一筆書きの経路数は同じです。どちらか一方を考えておき2倍すればが求められます。
そこで、正
n角形の場合と正角形の場合を比較しやすいように、と進む方を考えることにして、一筆書きの経路数をとします。です。また、①よりです。
角形の場合に、と進むときの一筆書きの経路数はです。
この場合、まず、と進むときに、外接円上を通るのか、正角形の辺上を通るのか、
2通りあります。・・・②
次に、に来たときに、
(i) に戻ってしまうのか、(ii) に行くのか、2つの場合があります。
(i) に戻るときは、と進んだときに通らなかった方を通るので1通りしかありません。そして、に戻った以降は、 ・・・ ・・・ と進むしかありません。この間個の頂点間(頂点と頂点の間はn)を、行き帰りのどちらで、外接円上を通るのか、辺上を通るのか、通りあります。
(ii) に行く場合、途中どの経路を通るのかはさておいて、いずれはに来るのですが、既に、と進んできた後なので、の間の経路は、と進むにせよ、と進むにせよ、円弧と辺のうち1本しか残っていません。であれば、の間の経路を考える意味はないのです。そこで、を合わせて1つの点とみなして経路数を数えてしまうことにします。すると、と進みに来た後の経路数は、正n角形でと進む場合の経路数通りになります。
(i)(ii)を合わせて、②を考慮すると、
 (2項間漸化式を参照)

両辺をで割って、
数列は、初項:,公差:1等差数列で、

......[]

を考えます。
まず、の場合、正三角形
ACDで考えてみます。点Bは辺ACの中点だとします。
最初に
BAと進む場合とBCと進む場合の一筆書きの経路数は同じなので、BAの方を考えます(あとで2倍します)
Aに来た後、
(i) ACと進む場合、以後は、CDADCと進むしかありません。CD間、AD間は、それぞれ2通りあり、経路数は通りあります。
(ii) ADと進む場合、AD間が2通り、Dに来た後、DACDCと進むか、DCDACと進むか、DCADCと進むかですが、いずれの場合もDC間の進み方が2通りあり、経路数は通りあります。
(i)(ii)合わせて、通り。・・・③

この場合も漸化式を立てることを考えます。
n角形の頂点を,・・・,,正角形の頂点を,・・・,とします。辺の中点をBとします。
n角形の場合、最初にBから書き始め、Bと進む場合と、Bと進む場合とでは、それ以降の一筆書きの経路数は同じです。どちらか一方を考えておき2倍すればが求められます。
Bと進む方を考え、一筆書きの経路数をとします。です。また、①よりです。
角形の場合に、
Bと進むときの一筆書きの経路数はです。
この場合、まず、と進むときに、外接円上を通るのか、正角形の辺上を通るのか、
2通りあります。・・・④
次に、に来たときに、
(i) に戻ってしまうのか、(ii) に行くのか、2つの場合があります。
(i) に戻るときは、と進んだときに通らなかった方を通るので1通りしかありません。そして、に戻った以降は、 ・・・ ・・・ と進むしかありません。この間n個の頂点間(頂点と頂点の間は経路)を、行き帰りのどちらで、外接円上を通るのか、辺上を通るのか、通りあります。
(ii) に行く場合、既に、と進んできた後なので、のときと同様に、を合わせて1つの点とみなして経路数を数えてしまうことにします。すると、と進みに来た後の経路数は、正n角形でと進む場合の経路数通りになります。
(i)(ii)を合わせて、④を考慮すると、

両辺をで割ると、
数列は、初項:,公差:の等差数列です。


......[]


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