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熊本大理系数学'07年後期[3]

熊本大理数学'07年後期[3]

数列
 
()
で与えられているとする。また、とし、xに関する方程式の正の解をaとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) aの値を求めよ。
(2) すべての正の整数nについて、であることを証明せよ。
(3) において、であることを証明せよ。
(4) とするとき、すべての正の整数nについて、であることを証明せよ。
(5) の値を求めよ。

解答 タイプの漸化式極限を求める問題です。

(1)
とすると、
正の解
aは、 ......[]

(2) です。
 ・・・①
より、であれば、,つまり、です。
よって帰納的に
(数学的帰納法を参照)、すべての正の整数nについて、です。 (証明終)

(3)



においては、
 (証明終)

(4) (2)の結果を合わせて、
これより(3)の結果においてとすると、


 (証明終)
別解 ①より、
より、

とすることもできます。

(5) (2)より
(4)より

ここでとすると、
よって、
はさみうちの原理より、
......[]

追記.タイプの漸化式で与えられる数列では、がある範囲であって、が存在すれば、方程式における解をaとして、となります。
なぜなら、
平均値の定理より、をみたす実数cが存在して、における最大値をmとすれば、で、より、のときとなるからです。

本問では、とおくと、

単調減少関数で、においては、なので、は、の解9になります。
本問の
(4)に出てくるという値は、における平均変化率
であって、は、であれば平均変化率について、
であることを意味しています。なお、北大理系'08年前期[3]も参照してください。

という漸化式で与えられる数列の極限を求める問題をしばしば見かけますが、

において、
となり、


をみたす解はなので、となります。
という風にして1に近づいていきます。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/11/13(木) 10:40:52|
  2. '08年入試(数学)
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