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横浜市大医数学'08年[4]

横浜市大医数学'08[4]

4次方程式
 ・・・()
のある解をみつけたい。以下の問いに答えよ。
(1) 方程式()は区間に解をもつことを示せ。
(2) (1)で解をオイラー(Leonhard Euler)の方法で求めよう。pqrを正の実数として
 ()
とおく。まず、補助変数fgh
を導入する。を計算して、4次方程式
 ・・・(**)
としたときABCfghを用いて表せ。次に()(**)が同じ式と仮定してfghを求めよ。
(3) 等式
(2)で得られたfghを用いて3次方程式
3つの解pqrを求めよ。
(4) 方程式()の解
を等式
 ()
を用いて簡略化し、それが区間にあることを示せ。

解答 入試問題としては計算するだけですが、4次方程式の一般的解法をネタとした興味深いテーマの問題です。なお高次方程式を参照してください。
また、問題文中の区間は、の範囲、という意味です。


(1)
とおきます。

よって、方程式()は区間に解をもちます。

(2)
ここで、とおくと、問題文中のfを用いて、
 ・・・①
 ・・・②
この中のは、問題文中のghを用いて、


①より、
②より、

(
**)と比較すると、
......[]
()(**)を比較すると、
......[]

(3)
定数項のの約数を代入していくと、を代入したときに、
となるので(因数定理を参照)

3つの解pqrは、2 ......[]

(4) は、問題文中の等式にあてはめると、
これをみたすabは、35
これより、
 (複号同順)
よって、を考慮して、


より、
となります。

追記.本問に合わせたのか、3次方程式を解こうという問題も出ています。
首都大
'08年後期[1]

以下の問いに答えよ。
(1) すべての実数xyzに対して次の等式が成り立つような実数の組1組求めよ。
ただし、iは虚数単位とする。
(2) を満たす整数の組1組求めよ。
(3) 3次方程式の解をすべて求めよ。

解答 (1) 因数分解の公式:
を記憶していれば、これを使えばよいのですが、記憶していなければ、が出てくるように、を考えます。



中カッコ内について、
とおいてxについて解くと(2次方程式を参照)

つまり、 (複号同順)
ということは、
よって、 ......[]

(2)
 ・・・①
は整数なので、91の約数です。
の中から①をみたすものを探すと、
より、yzは、
2解で、 ......[]

(3) (1)において、とすると、
より、
......[]

3次方程式の一般的解法については、カルダノの解法が知られていて、'94年日本医科大[1]で出題されています。3次方程式、4次方程式の一般解に興味を持たれた方は、「代数学講義・改訂新版」高木貞治著(共立出版)の第6章を参考にしてください。実は、この本と高木貞治さんの「初等整数論講義」は入試問題のネタとしてよく使われていて、時間に余裕のある方は一読の価値があります。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/11/08(土) 13:00:51|
  2. '08年入試(数学)
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