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北大理系数学'07年前期[5]

北大理系数学'07年前期[5]

楕円と双曲線を考える。の焦点が一致しているならば、の交点でそれぞれの接線は直交することを示せ。

解答 2次曲線に関する証明問題を見ておきます。2次曲線に関する問題の項目にもいろいろな例を挙げていますので参照してください。

楕円の焦点は、のときはx軸上ののときはy軸上のにあります。
双曲線の焦点はx軸上のにあります。
の焦点が一致するということは、焦点は
x軸上にあって、であり、
 ・・・①
が成り立つ、ということです。
また、の交点をとすると、交点は、上の点でも上の点でもあるので、

 ・・・②
 ・・・③
が成り立ちます。
ここで、だとすると、②,③より、となりますが、このとき、①より、,即ち、となってしまうので、
における楕円の接線は、

であって、その傾きは、のとき、です。
における双曲線の接線は、

であって、その傾きは、のとき、です。
題意を示すためには、両接線の傾きの積:になってくれればよい
(2直線の平行・垂直を参照)わけです。
②,③より、



①より、


よって、の交点でそれぞれの接線は直交します。

追記.上記では、楕円の接線の公式を用いましたが、香川大医
'07[3]にこの公式を導く問題が出題されています。

曲線C ()上の点Pにおけるこの曲線の接線をlとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 直線lの方程式はとなることを示せ。
(2) Pが曲線Cの第1象限の部分を動くとする。直線lx軸,y軸の交点をそれぞれQRとするとき、線分QRの長さの最小値を求めよ。

解答(1) Pが曲線C上の点であることから、
 ・・・①
Cの方程式の両辺を陰関数の微分法によりxで微分すると、
のときには、
のとき、点における接線の傾きは、

接線の方程式は、

 ( )
をかけて、
 ・・・②
のとき、点Pにおける曲線Cの接線は、
①より、これも②に含まれます。
よって、直線
lの方程式は、

(2) 曲線C上の点Pは、

媒介変数表示されます。点Pが第1象限の点のときにはです。接線lの方程式は、

となります。
として
x軸との交点Qx座標は、
として
y軸との交点Ry座標は、
線分
QRの長さの2乗は、
不等号の等号は、においては、のときに成り立ちます。
よって、線分
QRの長さの最小値は、 ......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/11/06(木) 10:33:51|
  2. '08年入試(数学)
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