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首都大理系数学'07年前期[3]

首都大理系数学'07年前期[3]

以下の問いに答えよ。
(1) 実数abxyに対して、不等式
が成り立つことを示せ。
(2) 実数を成分とする2次の正方行列Aについて、次の2つの命題()()は同値であることを証明せよ。
() 行列Aは逆行列をもつ
() 条件をみたす実数xyに限る。
(3) 実数abcdをみたすとき、行列
に対して、行列は逆行列をもつことを示せ。

解答 (1)はコーシー・シュワルツの不等式です(不等式の証明を参照)
行列
A逆行列が存在するかどうか、ということを調べるときに、
をみたすBを探す
を示す
の、2通りのアプローチの仕方があります。この問題では、後者で考えます。

(1)


(2) ()()が同値」というのは、()()が相互に必要十分条件になっていて、()()()()がともに成り立つ、ということです。
()()を示します。
が存在するとき、条件の左からをかけて、
より左辺は,右辺はとなり、
よって、に限られます。
()()を、背理法によって示します。
()が成り立つとき、と仮定します。
(i) なら、よりadのどちらかは0です。
なら、条件は、
xは任意の実数でよいことになり、に限られることに反します。
なら、条件は、
は直線上の任意の点でよいことになり、に限られることに反します。
(ii) なら、よりbcのどちらかは0です。
なら、条件は、
yは任意の実数でよいことになり、に限られることに反します。
なら、条件は、
は直線上の任意の点でよいことになり、に限られることに反します。
(iii) のとき、で割って、
(k:実数)とおくと、条件は、
は直線上の任意の点でよいことになり、に限られることに反します。
以上より、とした仮定は誤りであり、,よって、行列Aは逆行列をもちます。
() ()

(3) が逆行列をもつことを示すためには、
が言えればよいわけですが、という条件を合わせて、のような形を作るために、
を考えてみます。


よって、は逆行列をもちます。
別解 上記の解答では、やってみたら偶然うまく行った、という面もありますが、問題の流れに沿って(1)(2)を利用して解答するのであれば、
 ・・・①
をみたすxyがどんな実数かを考えることになります。
①は、
となりますが、ここで(1)の結果を使うと、
 ・・・②
 ・・・③
②+③より、
ここで、なので、であれば、
ということになってしまいます。
従って、なので,つまり、①をみたす
xyに限られることになります。
よって、
(2)より、は逆行列をもちます。


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  1. 2008/11/04(火) 13:24:01|
  2. '08年入試(数学)
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