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名工大数学'08年[2]

名工大数学'08[2]

曲線 ()上の点P ()における接線をlとし、l上の点でそのx座標がとなる点をQとおく。原点をOとして次の問いに答えよ。
(1) のなす角をq とするとき、tを用いて表せ。
(2) のとき、q が最大となるtを求めよ。
(3) とする。すべてのt ()についてが直交し、となるを求めよ。

解答 (3)微分方程式の問題ですが、この程度なら「微分方程式」と言えるほどのものではなく、充分に高校の現行学習指導要領範囲内です。

(1)
l
lの式においてとして、



 ・・・①

......[]
q は、として考えることにします。

(2) のとき、


これらを(1)の結果に代入して、
これをとおくと、
 (商の微分法を参照)

とすると、
t

1

0




増減表より、において、のときに、は最小(関数の増減を参照)で、とすると、このときにq最大となります(q が増大するとき、が減少することに注意)
qが最大となるtは、 ......[]

(3) が直交することから、 (内積を参照)
①より、
より(合成関数の微分法を参照)
両辺をtで積分すると、
 (C:積分定数)
より±は+の方をとり、
txに書き換えて、
......[]

追記.この問題と同様の発想をする問題に、'96年慶大理工[B1]

座標平面上を運動するPがあって、時刻tにおける座標がtの微分可能な関数によってPで与えられている。同じ座標平面上を運動するもうひとつの点Qがあって、時刻tにおける座標がQで与えられている。ここでabは定数でである。さらに、ベクトルはつねに直交しているものとする。ただし、Oは原点を表す。このとき次の問いに答えよ。
(1) ベクトルの大きさは一定であることを示せ。
(以下省略)

があります。
より、 となりますが、
名工大の問題と同様に、より
(合成関数の微分法を参照)
tで積分して、
 (C:一定)
となります。

次のような問題も、微分方程式の問題とも言えますが、現行範囲内で充分に解答可能です。


y軸との交点がである曲線上の点における接線の傾きがのとき、はどんな関数か。つねにとする。

解答 
両辺をxで積分すると、
 (不定積分の公式を参照)
 (C:積分定数)
()

より、
......[]


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/10/29(水) 10:24:10|
  2. '08年入試(数学)
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