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微分法の方程式への応用
微分法の方程式への応用
3次関数
があるときに、3次方程式：
が3個の相異なる実数解をもつ条件は、2次方程式
が相異なる2個の実数解a，b をもち、かつ、
(極大値と極小値の積が負)
[証明]
の
の係数が正の場合を考えます。負の場合も全く同様です。なお、3次関数の増減を参照してください。
2次方程式
が相異なる2個の実数解a，b をもつとき、
だとして、
であれば、極大値の方が極小値よりも大きいので、
が極大値で
が極小値であり、
です。
において、
であって
は単調増加で、
のとき
，また、
より、
は
に1個実数解をもちます。
において、
であって
は単調減少で、
，
より、
は
に1個実数解をもちます。
において、
であって
は単調増加で、
，
のとき
より、
は
に1個実数解をもちます。
以上より、
が相異なる2個の実数解a，b をもち、かつ、
であれば、3次方程式
は3個の相異なる実数解をもちます。
また、
が重解をもつ場合(すべてのxについて
)、あるいは、
が実数解をもたない場合(すべてのxについて
)は、
は単調増加な関数で、
のグラフはx軸とただ1つしか交点をもちません。よって、3次方程式
がただ1つの実数解しかもちません。
が相異なる2個の実数解a，b をもつとき、
だとして、
であるとき、
・
であれば、3次方程式
は、
の範囲に1個の実数解をもちますが、
における
の最小値：
であり、
においては、3次方程式
は、
のときに、
のグラフはx軸と接し、
を重解にもちますが、
のときには、
のグラフはx軸と共有点をもたず実数解をもちません。
・
であれば、3次方程式
は、
の範囲に1個の実数解をもちますが、
における
の最大値：
であり、
においては、3次方程式
は、
のとき
を重解にもちますが、
のときには実数解をもちません。
以上より、3次方程式：
が3個の相異なる実数解をもつ条件は、2次方程式
が相異なる2個の実数解a，b をもち、かつ、
(証明終)
例1．3次方程式：
が3個の異なる実数解をもち、そのうちの1つは
の範囲に存在することを示す。
[解答] 3次関数：
を考えます。
とすると、
増減表は、
これより、
において
は単調減少で、
，
より、方程式：
は、
の範囲に解をもちます。
また、
において
は単調増加で、
，
より、方程式：
は、
の範囲に解をもちます。
において
は単調増加で、
，
より、方程式：
は、
の範囲に解をもちます。
以上より、3次方程式：
は3個の異なる実数解をもち、そのうちの1つは
の範囲に存在します。
例2．kを定数として、3次方程式：
の解の個数がkの値によりどのように変わるかを調べる。
[解答] 3次方程式：
の解は、
を連立したときの解と同じです。
の増減表は、
増減表より、
のグラフは右図のようになります。
�，鉢△鯱⇔�したときの解は、�，鉢△離哀薀佞龍ν�点のx座標です。
kの値を動かすことにより、x軸に平行な直線：
を上下に動かして交点の数を調べると、3次方程式の解の個数は、右図のように、
1個 (
のとき)，2個 (
のとき)，3個 (
のとき)，2個 ((
のとき)，1個 (
のとき) ......[答]
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3次関数
があるときに、3次方程式：が3個の相異なる実数解をもつ条件は、2次方程式が相異なる2個の実数解a，b をもち、かつ、 (極大値と極小値の積が負)[証明]
のの係数が正の場合を考えます。負の場合も全く同様です。なお、3次関数の増減を参照してください。2次方程式
が相異なる2個の実数解a，b をもつとき、だとして、であれば、極大値の方が極小値よりも大きいので、が極大値でが極小値であり、です。において、であっては単調増加で、のとき，また、より、はに1個実数解をもちます。において、であっては単調減少で、，より、はに1個実数解をもちます。において、であっては単調増加で、，のときより、はに1個実数解をもちます。以上より、
が相異なる2個の実数解a，b をもち、かつ、であれば、3次方程式は3個の相異なる実数解をもちます。また、
が重解をもつ場合(すべてのxについて)、あるいは、が実数解をもたない場合(すべてのxについて)は、は単調増加な関数で、のグラフはx軸とただ1つしか交点をもちません。よって、3次方程式がただ1つの実数解しかもちません。が相異なる2個の実数解a，b をもつとき、だとして、であるとき、・
であれば、3次方程式は、の範囲に1個の実数解をもちますが、におけるの最小値：であり、においては、3次方程式は、のときに、のグラフはx軸と接し、を重解にもちますが、のときには、のグラフはx軸と共有点をもたず実数解をもちません。・
であれば、3次方程式は、の範囲に1個の実数解をもちますが、におけるの最大値：であり、においては、3次方程式は、のときを重解にもちますが、のときには実数解をもちません。以上より、3次方程式：
が3個の相異なる実数解をもつ条件は、2次方程式が相異なる2個の実数解a，b をもち、かつ、 (証明終)例1．3次方程式：
が3個の異なる実数解をもち、そのうちの1つはの範囲に存在することを示す。[解答] 3次関数：
を考えます。とすると、増減表は、
| x |  | 1 | |||
 | ＋ | 0 | − | 0 | ＋ |
 |  | 3 |  |  | |
これより、
においては単調減少で、，より、方程式：は、の範囲に解をもちます。また、
においては単調増加で、，より、方程式：は、の範囲に解をもちます。においては単調増加で、，より、方程式：は、の範囲に解をもちます。以上より、3次方程式：
は3個の異なる実数解をもち、そのうちの1つはの範囲に存在します。例2．kを定数として、3次方程式：
の解の個数がkの値によりどのように変わるかを調べる。[解答] 3次方程式：
の解は、 を連立したときの解と同じです。の増減表は、| x | 0 |  | |||
 | − | 0 | ＋ | − | |
 | | 0 | |  | |
増減表より、のグラフは右図のようになります。�，鉢△鯱⇔�したときの解は、�，鉢△離哀薀佞龍ν�点のx座標です。
kの値を動かすことにより、x軸に平行な直線：
を上下に動かして交点の数を調べると、3次方程式の解の個数は、右図のように、1個 (
のとき)，2個 (のとき)，3個 (のとき)，2個 ((のとき)，1個 (のとき) ......[答]TOPに戻る CFV21 メイン・ページ 考察のぺージ 作者のページ
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