FC2ブログ

CHALLENGE from the VOID

大学入試問題を考える - 数学・物理 -

CFV21 ご入会のおすすめ
理工系受験生の方は
こちらをご覧ください
当会の活動にご支援頂ける方は
こちらをご覧ください

センター試験「数学」の必勝法はこちら
センター試験「物理」の必勝法はこちら

理工系受験生必見!! 2010-2007入試問題検討ページ(東大・東工大・京大・早慶) 
CFV21での学習の進め方

スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
  1. --/--/--(--) --:--:--|
  2. スポンサー広告

電通大数学'07年後期[3]

電通大数学'07年後期[3]

関数について、以下の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) の極値を求めよ。
(3) 曲線とこの曲線上の点Pにおける接線とが点Pのほかに共有点をもたないとする。このようなaの値をすべて求めよ。
(一部省略)

解答 もとの問題の一部を削除しました。もとの問題には、計算で(3)を解決するための誘導がついているのですが、ここでは、一般的に対応できるように、計算によらない考え方を試みます。

(1)  (商の微分法を参照)
......[]

......[]

(2) とすると、
 (複号同順)
x


00

増減表より、において極小値:において極大値: ......[] (関数の増減を参照)

(3) とすると、
の増減表は以下のようになります。
x


1
000

ここで、です。
以後、の解を
()の解を ()とおきます。です。
また、です。 ・・・①
の解はにおいてにおいて ・・・②
さて、題意より、
と、点Pにおける接線
を連立し、
 (左辺をとおきます) ・・・③
とすると、この方程式()は、 (これが解であることは明らかです)以外の解をもちません。
のグラフを調べてみます。

よって、と同様に以下の増減表のように変化します。
x



000

ここで、なので、は、において最小値をとり、において最大値をとります。
これより、
(i) のとき、最小値より、であり、は増加関数です。従って、,即ち③は、以外の解をもちません。
(ii) のとき、最大値より、であり、は減少関数です。従って、,即ち③は、以外の解をもちません。
(iii) のとき、の増減表より、より、方程式は、以外に、の範囲にもう1dをもちます。
これより、におけるの増減表は以下のようになります。
xa
d
00

このとき、,また①より、です。
増減表より、であり、方程式は、の範囲に以外の解をもつので、不適です。
(iv) のとき、の増減表より、より、方程式は、以外に、の範囲にもう1dをもちます。
これより、におけるの増減表(においてもは正になったり負になったりする可能性があります)は以下のようになります。
xd
a
00

このとき、,また①より、です。
増減表より、であり、方程式は、の範囲に以外の解をもつので、不適です。
(v) のとき、ですが、においてよりは減少関数で、ですがこの前後での符号は正から負に変わり、の増減表は以下のようになります。
x

a
00

( )と増減表より、方程式,即ち③は、以外の解をもちません。
(vi) のとき、の増減表より、より,従って、方程式は、以外に、の範囲にもう1dをもちます。
これより、の増減表は以下のようになります。
x
d
a
00

このとき、,また①より、です。
増減表より、であり、方程式は、の範囲に以外の解をもつので、不適です。
(vii) のとき、の増減表より、より,従って、方程式は、以外に、の範囲にもう1dをもちます。
これより、の増減表は以下のようになります。
x
a
d
00

このとき、,また①より、です。
増減表より、であり、方程式は、の範囲に以外の解をもつので、不適です。
(viii) のとき、ですが、においてよりは増加関数で、ですがこの前後での符号は負から正に変わり、の増減表は以下のようになります。
x
a

00

( )と増減表より、方程式,即ち③は、以外の解をもちません。
(ix) のとき、の増減表より、より、方程式は、以外に、の範囲にもう1dをもちます。
これより、におけるの増減表は以下のようになります。
x
d
a
00

このとき、,また①より、です。
増減表より、であり、方程式は、の範囲に以外の解をもつので、不適です。
(x) のとき、より
また、②とより、において、
における増減表は、以下のようになります。

x
a
0


以上より、方程式,即ち③は、以外の解をもちません。
(xi) のとき、の増減表より、よりとなるので、方程式は、以外に、の範囲にもう1dをもちます。
これより、におけるの増減表(においてもは正になったり負になったりします)は以下のようになります。
x
a
d
00

このとき、,また①より、です。
増減表より、であり、方程式は、の範囲に以外の解をもつので、不適です。
以上ですべての場合を調べましたが、求めるaの値は、,つまり、
1 ......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/10/27(月) 22:36:00|
  2. '08年入試(数学)
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0
<<早大教育物理'08年[1] | ホーム | 一橋大数学'07年数学[2]>>

コメント

コメントの投稿


管理者にだけ表示を許可する

トラックバック

トラックバックURLはこちら
http://cfv21.blog49.fc2.com/tb.php/689-5fbb19f7
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。