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北見工大数学'08年[5]

北見工大数学'08[5]

一般に、直線が関数のグラフの漸近線であるとは、 または であることを言う。とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) の増減を調べ、が極小になるxの値、が極大になるxの値があればそれぞれすべて求めよ。
(2) が下に凸になるxの範囲を求めよ。
(3) に変曲点があればすべて求め、それぞれの点におけるの接線の傾きを求めよ。
(4) の漸近線をすべて求めよ。
(5) のグラフの概形を描け。また、(3)で求めた変曲点があればそれぞれの変曲点における接線を、(4)で求めた漸近線があれば漸近線を、のグラフと同じxy平面上に描け。

解答 漸近線や変曲点は入試ではあまり見かけないテーマですが、この問題でしっかり確認しておいてください。

 (商の微分法を参照)






とすると、
とすると、


(複号同順)
(
複号同順)
(
複号同順)
以上より、増減表は以下のようになります(関数の増減関数の凹凸を参照)
x



0



0000
000
0

(1) の増減は上記増減表の通り。増減表より、のとき極大、のとき極小 ......[]
(2) 増減表より、下に凸の範囲は、 ......[]
(3) 増減表より、変曲点は、 (接線の傾き:) (接線の傾き:5) (接線の傾き) ......[]
(4)
より、漸近線は、 ......[]
(5) 右図で、のグラフが太線、変曲点は赤マル、接線は青線、漸近線は緑線。右図は誇張して描かれていますが、実際には、で、極値の絶対値はほぼ同じ値です。
注.と表せるようなで、 または のときは、
あるいは
より、が漸近線である、としておけばよいでしょう。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/10/23(木) 11:52:15|
  2. '08年入試(数学)
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