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一橋大数学'07年前期[1]

一橋大数学'07年前期[1]

mを整数とし、とする。
(1) 整数aと、0ではない整数bで、をみたすものが存在するようなmをすべて求めよ。ただし、iは虚数単位である。
(2) (1)で求めたすべてのmに対して、方程式を解け。

解答 
(1) とおくと、

 (共役複素数を参照)
よって、の解です。
2解とする2次方程式を求めます。2乗すると、

これが、z2解とする2次方程式です。
で割ると割り切れるはずですが、商は,余りについて、
 (因数定理を参照)
よって、
 ・・・①
 ・・・②
②より、60の約数(整数を参照)で、より

これを満たす整数aであって、 (偶数です)60の約数となるものを探します。
のとき、60の約数で、②より
bが整数にならず不適。
のとき、60の約数で、②より
bが整数にならず不適。
のとき、60の約数で、②より

①より、 ・・・④
のとき、60の約数で、②より
bが整数にならず不適。
のとき、60の約数で、②より

①より、 ・・・⑤
のとき、60の約数で、②より
となり不適。
のとき、60の約数で、②より
となり不適。
のとき、60の約数で、②より
となり不適。
・これ以外に60の約数となる場合はありません。
④,⑤より、
......[]

(2) のとき、④より、,方程式は、
......[]
のとき、⑤より、,方程式は、
......[]

[別解] 3次方程式の解と係数の関係を利用することもできます。
以外の解を
cとして、3次方程式の解と係数の関係より、
 ・・・⑥
 ・・・⑦
 ・・・⑧
⑥より、
⑦,⑧に代入して、


となり、①,②が出てきます。
以降は、上記と同じようにすればよいのですが、
(2)では、方程式を解かなくても、からすぐに3つめの解が得られます。


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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

  1. 2008/10/22(水) 14:19:09|
  2. 一橋大数学
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